Trigonometrie - problemloesenlernen.de
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Aufgabe 1: LeuchtturmDer Kapitän eines Schiffes muss laut seinen Kartenbeim Passieren einer Landzunge einen bestimmtenAbstand zum Festland einhalten, um nicht auf ein Riffaufzulaufen. Dazu peilt er den Leuchtturm unter einemWinkel von 35° an. Nach 5,8 sm ergibt eine erneutePeilung 61°. Wie weit ist das Schiff bei der 2. Peilungvom Leuchtturm entfernt?Lösung:Variante 1: Sinussatzα = 90° - 61° = 119°β = 35°γ = 180° - 119° - 35° = 26°c = 5,8 smb sin β=c sinγsin β sin35°b = c ⋅ = 5,8sm⋅ = 7, 59smsinγsin 26°Variante 2: Zerlegung in rechtwinklige Dreieckeα 1 = 90° - 35° = 55°α 2 = 180° - 61° - α1 = 64°hsin(β ) =c⇔ h = c ⋅sin( β ) = 5,8sm⋅sin(35°) = 3, 327smhcos( α 2) =bh 3,327sm⇔ b = = = 7, 59smcos( α 2) cos(64°)
- Seite 2 und 3: Aufgabe 2: PyramidenDie ägyptische
- Seite 4 und 5: Aufgabe 4: MatterhornBlickt man von
- Seite 6 und 7: Aufgabe 6: Boeing 747Die Boeing 747
Aufgabe 1: LeuchtturmDer Kapitän eines Schiffes muss laut seinen Kartenbeim Passieren einer Landzunge einen bestimmtenAbstand zum Festland einhalten, um nicht auf ein Riffaufzulaufen. Dazu peilt er <strong>de</strong>n Leuchtturm unter einemWinkel von 35° an. Nach 5,8 sm ergibt eine erneutePeilung 61°. Wie weit ist das Schiff bei <strong>de</strong>r 2. Peilungvom Leuchtturm entfernt?Lösung:Variante 1: Sinussatzα = 90° - 61° = 119°β = 35°γ = 180° - 119° - 35° = 26°c = 5,8 smb sin β=c sinγsin β sin35°b = c ⋅ = 5,8sm⋅ = 7, 59smsinγsin 26°Variante 2: Zerlegung in rechtwinklige Dreieckeα 1 = 90° - 35° = 55°α 2 = 180° - 61° - α1 = 64°hsin(β ) =c⇔ h = c ⋅sin( β ) = 5,8sm⋅sin(35°) = 3, 327smhcos( α 2) =bh 3,327sm⇔ b = = = 7, 59smcos( α 2) cos(64°)
Aufgabe 2: Pyrami<strong>de</strong>nDie ägyptischen Pyrami<strong>de</strong>n wur<strong>de</strong>n schichtweise aus großen Kalksteinqua<strong>de</strong>rn gebaut. Der Neigungswinkelα aller vier Seiten ist immer gleich und beträgt z. B. bei <strong>de</strong>r um 2500 v. Chr. erbautenCheopspyrami<strong>de</strong> ca. 54° (siehe Abbildung rechts). DurchVorschreiben eines bestimmten Einrückungsmaßes x <strong>de</strong>rnächsthöheren Qua<strong>de</strong>rschicht konnten die Erbauer <strong>de</strong>nWinkel einhalten, obwohl sie noch kein Winkelmaß kannten.Es soll eine Pyrami<strong>de</strong> mit einer Breite von 360 Ellenund einer Höhe von 252 Ellen gebaut wer<strong>de</strong>n.Bestimme das Einrückungsmaß x <strong>de</strong>r jeweilsnächsten Qua<strong>de</strong>rreihe in Handbreiten, wenn einQua<strong>de</strong>r 3 Ellen hoch ist und eine 1 Elle genau 7Handbreiten besitzt!Lösung:Für <strong>de</strong>n Winkel α gilt:htan( α ) = =1 b2252 Ellen180 Ellen=25,218Daraus folgt für das Einrückungsmaß x in Handbreiten:h Qua<strong>de</strong>r3 Ellentan( α ) = =x x3 Ellen 18x = = 3 Ellen⋅= 2,1429tan( α)25,2EllenDa eine Elle 7 Handbreiten besitzt gilt:1 Elle1 Handbreit == 0,14291 Handbreitx = 2 ,1429 Ellen =2 Ellen und1 Handbreit
Aufgabe 3: Bo<strong>de</strong>nseeDer Bo<strong>de</strong>nsee ist b = 64 km lang. Wie viel m stehtdas Wasser in <strong>de</strong>r Mitte <strong>de</strong>s Sees höher als an <strong>de</strong>nEn<strong>de</strong>n?Lösung:r = 6371kmπb 180°64km180°b = 2α⋅ ⋅ r ⇔ α = ⋅ = ⋅ = 0, 287783°180°2⋅r π 2⋅6371kmπr − hcos( α ) = ⇔ r − h = r ⋅cos(α)⇔ h = r ⋅ α=r( 1−cos( )) = 0,080364km80,364mIn <strong>de</strong>r Mitte <strong>de</strong>s Sees steht das Wasser ca. 80,36 m höher als an <strong>de</strong>n Rän<strong>de</strong>rn.
Aufgabe 4: MatterhornBlickt man von einem 120 m über <strong>de</strong>mRiffelsee (bei Zermatt/Schweiz)gelegenen Punkt A bei Windstille in<strong>de</strong>n See, so sieht man das Spiegelbild<strong>de</strong>s Matterhorns unter einem Tiefenwinkelvon α = 11,8°. Die Spitze <strong>de</strong>sMatterhorn erblickt man direkt unter<strong>de</strong>m Höhenwinkel β = 10,25°. Wie vielMeter liegt <strong>de</strong>r Gipfel <strong>de</strong>s Matterhornüber <strong>de</strong>m Riffelsee?Lösung:hSee 120mAR == = 586, 81mcos(90° −α)cos(78,2°)δ = 180° − 2⋅α= 156, 4°γ = 180° −α− β −δ= 1, 55°sin( α + β )sin(22,05°)RM = AR ⋅ = 586,81m⋅= 8144, 30msin( γ )sin(1,55 ° )h = RM ⋅sin( α ) = 8144,3m⋅sin(11,8° ) = 1665, 48mDer Gipfel <strong>de</strong>s Matterhorns liegt 1665,48 m über <strong>de</strong>m See.
Aufgabe 5: SchüttkegelAuf einer Baustelle wird Sand, <strong>de</strong>r als Füllmaterial benötigt wird, in acht 1,75 m hohenzylin<strong>de</strong>rförmigen Behältern mit jeweils 1,5 m Durchmesser angeliefert. Der Sand wird langsam überein För<strong>de</strong>rband ausgekippt, so dass ein kegelförmiger Haufen entsteht. Der Vorarbeiter hat <strong>de</strong>nVerdacht, dass die Lieferfirma betrogen hat und die Behälter nicht ganz voll waren. Er beauftragtseinen schlauen Lehrling das zu überprüfen. Dieser misst Umfang (U = 17,5 m) und Seitenkante <strong>de</strong>sKegels.Der schlaue Lehrling weiß: Der Schüttwinkel für Sand ist 40°. Um zu überprüfen, ob die Behälter vollwaren, misst er die Seitenkante. Wie lang müsste die Seitenkante s sein, wenn die Behälter vollwaren? Hinweis: Der Schüttwinkel ist <strong>de</strong>r Winkel, <strong>de</strong>n Grundfläche und Seitenkante <strong>de</strong>s Schüttkegelseinschließen.Lösung:Das Gesamtvolumen <strong>de</strong>s angelieferten San<strong>de</strong>s beträgt233( 0,75m) ⋅1,75m= 24,74m24.740V ges= 8⋅π ⋅= dm .Aus <strong>de</strong>r informativen Figur entnimmt man cos ( α ) = und ( α )Mit <strong>de</strong>r Volumenformel für <strong>de</strong>n Kegel folgt:2 1V = ⋅π⋅ r ⋅h= ⋅π⋅ s3 31 3 2⋅cos( α ) ⋅sin( α )rshsin = .ss =33⋅π ⋅cos2V( α ) ⋅sin( α )324,74ms = 3 3⋅= 3, 97m2π ⋅cos( 40°) ⋅sin( 40°)
Aufgabe 6: Boeing 747Die Boeing 747 ist eines <strong>de</strong>r größten und stärkstenVerkehrsflugzeuge <strong>de</strong>r Welt. Sie kann mit einerHöchstgeschwindigkeit von 920 km/h fliegen. Bei ihremStartweg besitzt sie jedoch aufgrund <strong>de</strong>s hohenLuftwi<strong>de</strong>rstands nur eine durchschnittliche Geschwindigkeitvon circa 250 km/h. Nach ungefähr 8 Minuten hat sie ihremaximale Flughöhe von 13.700 m erreicht.Wie viele Kilometer legt sie zurück, um ihre maximale Höhe zu erreichen? Wie viele Kilometer fliegtsie jedoch nur Luftlinie? Welchen mittleren Steigwinkel besitzt eine Boeing 747?Lösung:Das Flugzeug fliegt 8 Minuten (8*60 s =480 s) mit einer Geschwindigkeit von250 km/h, um seine maximale Flughöhevon 13.700 m zu erreichen.1000mm250 ⋅ = 69,443600ssFlugweg = Geschwindigkeit ⋅ FlugzeitmFlugweg = 69 ,44 ⋅480s= 33.331,2m= 33, 3kmsDer Luftlinie-Weg kann mit <strong>de</strong>m Satz <strong>de</strong>s Pythagoras berechnet wer<strong>de</strong>n.22Flugweg = Luftlinienweg +Flughöhe22222Luftlinienweg= Flugweg − Flughöhe = 33.331,2 −13.700m = 30.385, 5mDer mittlere Steigwinkel ergibt sich aus:sinFlughöheFlugweg13.700m33.331,2m⎛ 13.700 ⎞⎝ 33.331,2 ⎠( α ) = =⇔ α = arcsin⎜⎟ = 24, 3°
Aufgabe 7: Hobbygärtner WilliDer Hobbygärtner Willi fin<strong>de</strong>t die Bepflanzung in seinem Garten ziemlich langweilig und möchte<strong>de</strong>shalb etwas Extravagantes ausprobieren! Er setzt sich in <strong>de</strong>n Kopf, seine zehn Apfelbäume soumzupflanzen, dass sich genau fünf Reihen mit jeweils vier Bäumen ergeben. Er weiß jedoch nicht,wie er seine „fixe“ I<strong>de</strong>e verwirklichen soll! Kannst du ihm da weiterhelfen?Bei <strong>de</strong>r Einpflanzung von Bäumen, die mit <strong>de</strong>n Jahren eine große Baumkrone entwickeln, ist essinnvoll, darauf zu achten, immer einen Min<strong>de</strong>stabstand von 8 Meter zum nächsten Baum einzuhalten,damit sie sich ungehin<strong>de</strong>rt ausweiten können! Wie viel m² Gartenfläche nimmt <strong>de</strong>mzufolge die obenbeschriebene Anordnung <strong>de</strong>r Bäume in Anspruch?Lösung:Um mit zehn Bäumen fünf Reihen mit jeweils vier Bäumen zuerhalten, müssen diese wie nebenstehend dargestellt angeordnetwer<strong>de</strong>n. Hierbei stellen die roten Punkte die Bäume und dieschwarzen Linien die Reihen dar!Für die Flächenberechnung <strong>de</strong>s Sterns ist es sinnvoll, <strong>de</strong>n Stern infünf kongruente große Dreiecke (gelb) und in fünf kongruente kleineDreiecke (grün) zu zerlegen.AStern= 5 ⋅ A + 5 ⋅ ADreieck kleinDreieck großStrecke AB = 8mWinkel AMB = 72°Winkel MAB = Winkel ABM = 54° ((180°-72°)/2)Winkel ACB = 72° (=180°- 2* 54°)Um die Fläche <strong>de</strong>s kleinen Dreiecks zu berechnen, wird das gleichseitige Dreieck in zweirechtwinklige Dreiecke zerlegt und im Anschluss daran die Höhe mit Hilfe <strong>de</strong>s Tangens berechnet.Gegenkathete 4mtan( 36°) ==⇔ hDreieckklein= 5,51mAnkathete h1ADreieck klein= ⋅8m⋅hDreieckklein=2Dreieck klein22,04m²Analog dazu wird die Fläche <strong>de</strong>s großen Dreiecks berechnet, in<strong>de</strong>m das gleichseitige Dreieck in zweirechtwinklige Dreiecke zerlegt und die Höhe mit Hilfe <strong>de</strong>s Tangens berechnet wird.hDreieckgroßtan( 72°) =⇔ hDreieckgroß= 12,31m4m1ADreieck groß= ⋅8m⋅hDreieckgroß=249,24m²Die Fläche <strong>de</strong>s gesamten Sterns ergibt sich somit zu:A= 5⋅A + 5⋅A = 5⋅22,04m²+ 5⋅49,24m²356,4m²Stern Dreieck klein Dreieck groß=