Trigonometrie - problemloesenlernen.de

Aufgabe 1: LeuchtturmDer Kapitän eines Schiffes muss laut seinen Kartenbeim Passieren einer Landzunge einen bestimmtenAbstand zum Festland einhalten, um nicht auf ein Riffaufzulaufen. Dazu peilt er den Leuchtturm unter einemWinkel von 35° an. Nach 5,8 sm ergibt eine erneutePeilung 61°. Wie weit ist das Schiff bei der 2. Peilungvom Leuchtturm entfernt?Lösung:Variante 1: Sinussatzα = 90° - 61° = 119°β = 35°γ = 180° - 119° - 35° = 26°c = 5,8 smb sin β=c sinγsin β sin35°b = c ⋅ = 5,8sm⋅ = 7, 59smsinγsin 26°Variante 2: Zerlegung in rechtwinklige Dreieckeα 1 = 90° - 35° = 55°α 2 = 180° - 61° - α1 = 64°hsin(β ) =c⇔ h = c ⋅sin( β ) = 5,8sm⋅sin(35°) = 3, 327smhcos( α 2) =bh 3,327sm⇔ b = = = 7, 59smcos( α 2) cos(64°)

Aufgabe 2: PyramidenDie ägyptischen Pyramiden wurden schichtweise aus großen Kalksteinquadern gebaut. Der Neigungswinkelα aller vier Seiten ist immer gleich und beträgt z. B. bei der um 2500 v. Chr. erbautenCheopspyramide ca. 54° (siehe Abbildung rechts). DurchVorschreiben eines bestimmten Einrückungsmaßes x dernächsthöheren Quaderschicht konnten die Erbauer denWinkel einhalten, obwohl sie noch kein Winkelmaß kannten.Es soll eine Pyramide mit einer Breite von 360 Ellenund einer Höhe von 252 Ellen gebaut werden.Bestimme das Einrückungsmaß x der jeweilsnächsten Quaderreihe in Handbreiten, wenn einQuader 3 Ellen hoch ist und eine 1 Elle genau 7Handbreiten besitzt!Lösung:Für den Winkel α gilt:htan( α ) = =1 b2252 Ellen180 Ellen=25,218Daraus folgt für das Einrückungsmaß x in Handbreiten:h Quader3 Ellentan( α ) = =x x3 Ellen 18x = = 3 Ellen⋅= 2,1429tan( α)25,2EllenDa eine Elle 7 Handbreiten besitzt gilt:1 Elle1 Handbreit == 0,14291 Handbreitx = 2 ,1429 Ellen =2 Ellen und1 Handbreit

Aufgabe 3: BodenseeDer Bodensee ist b = 64 km lang. Wie viel m stehtdas Wasser in der Mitte des Sees höher als an denEnden?Lösung:r = 6371kmπb 180°64km180°b = 2α⋅ ⋅ r ⇔ α = ⋅ = ⋅ = 0, 287783°180°2⋅r π 2⋅6371kmπr − hcos( α ) = ⇔ r − h = r ⋅cos(α)⇔ h = r ⋅ α=r( 1−cos( )) = 0,080364km80,364mIn der Mitte des Sees steht das Wasser ca. 80,36 m höher als an den Rändern.

Aufgabe 4: MatterhornBlickt man von einem 120 m über demRiffelsee (bei Zermatt/Schweiz)gelegenen Punkt A bei Windstille inden See, so sieht man das Spiegelbilddes Matterhorns unter einem Tiefenwinkelvon α = 11,8°. Die Spitze desMatterhorn erblickt man direkt unterdem Höhenwinkel β = 10,25°. Wie vielMeter liegt der Gipfel des Matterhornüber dem Riffelsee?Lösung:hSee 120mAR == = 586, 81mcos(90° −α)cos(78,2°)δ = 180° − 2⋅α= 156, 4°γ = 180° −α− β −δ= 1, 55°sin( α + β )sin(22,05°)RM = AR ⋅ = 586,81m⋅= 8144, 30msin( γ )sin(1,55 ° )h = RM ⋅sin( α ) = 8144,3m⋅sin(11,8° ) = 1665, 48mDer Gipfel des Matterhorns liegt 1665,48 m über dem See.

Aufgabe 5: SchüttkegelAuf einer Baustelle wird Sand, der als Füllmaterial benötigt wird, in acht 1,75 m hohenzylinderförmigen Behältern mit jeweils 1,5 m Durchmesser angeliefert. Der Sand wird langsam überein Förderband ausgekippt, so dass ein kegelförmiger Haufen entsteht. Der Vorarbeiter hat denVerdacht, dass die Lieferfirma betrogen hat und die Behälter nicht ganz voll waren. Er beauftragtseinen schlauen Lehrling das zu überprüfen. Dieser misst Umfang (U = 17,5 m) und Seitenkante desKegels.Der schlaue Lehrling weiß: Der Schüttwinkel für Sand ist 40°. Um zu überprüfen, ob die Behälter vollwaren, misst er die Seitenkante. Wie lang müsste die Seitenkante s sein, wenn die Behälter vollwaren? Hinweis: Der Schüttwinkel ist der Winkel, den Grundfläche und Seitenkante des Schüttkegelseinschließen.Lösung:Das Gesamtvolumen des angelieferten Sandes beträgt233( 0,75m) ⋅1,75m= 24,74m24.740V ges= 8⋅π ⋅= dm .Aus der informativen Figur entnimmt man cos ( α ) = und ( α )Mit der Volumenformel für den Kegel folgt:2 1V = ⋅π⋅ r ⋅h= ⋅π⋅ s3 31 3 2⋅cos( α ) ⋅sin( α )rshsin = .ss =33⋅π ⋅cos2V( α ) ⋅sin( α )324,74ms = 3 3⋅= 3, 97m2π ⋅cos( 40°) ⋅sin( 40°)

Aufgabe 6: Boeing 747Die Boeing 747 ist eines der größten und stärkstenVerkehrsflugzeuge der Welt. Sie kann mit einerHöchstgeschwindigkeit von 920 km/h fliegen. Bei ihremStartweg besitzt sie jedoch aufgrund des hohenLuftwiderstands nur eine durchschnittliche Geschwindigkeitvon circa 250 km/h. Nach ungefähr 8 Minuten hat sie ihremaximale Flughöhe von 13.700 m erreicht.Wie viele Kilometer legt sie zurück, um ihre maximale Höhe zu erreichen? Wie viele Kilometer fliegtsie jedoch nur Luftlinie? Welchen mittleren Steigwinkel besitzt eine Boeing 747?Lösung:Das Flugzeug fliegt 8 Minuten (8*60 s =480 s) mit einer Geschwindigkeit von250 km/h, um seine maximale Flughöhevon 13.700 m zu erreichen.1000mm250 ⋅ = 69,443600ssFlugweg = Geschwindigkeit ⋅ FlugzeitmFlugweg = 69 ,44 ⋅480s= 33.331,2m= 33, 3kmsDer Luftlinie-Weg kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.22Flugweg = Luftlinienweg +Flughöhe22222Luftlinienweg= Flugweg − Flughöhe = 33.331,2 −13.700m = 30.385, 5mDer mittlere Steigwinkel ergibt sich aus:sinFlughöheFlugweg13.700m33.331,2m⎛ 13.700 ⎞⎝ 33.331,2 ⎠( α ) = =⇔ α = arcsin⎜⎟ = 24, 3°

Aufgabe 7: Hobbygärtner WilliDer Hobbygärtner Willi findet die Bepflanzung in seinem Garten ziemlich langweilig und möchtedeshalb etwas Extravagantes ausprobieren! Er setzt sich in den Kopf, seine zehn Apfelbäume soumzupflanzen, dass sich genau fünf Reihen mit jeweils vier Bäumen ergeben. Er weiß jedoch nicht,wie er seine „fixe“ Idee verwirklichen soll! Kannst du ihm da weiterhelfen?Bei der Einpflanzung von Bäumen, die mit den Jahren eine große Baumkrone entwickeln, ist essinnvoll, darauf zu achten, immer einen Mindestabstand von 8 Meter zum nächsten Baum einzuhalten,damit sie sich ungehindert ausweiten können! Wie viel m² Gartenfläche nimmt demzufolge die obenbeschriebene Anordnung der Bäume in Anspruch?Lösung:Um mit zehn Bäumen fünf Reihen mit jeweils vier Bäumen zuerhalten, müssen diese wie nebenstehend dargestellt angeordnetwerden. Hierbei stellen die roten Punkte die Bäume und dieschwarzen Linien die Reihen dar!Für die Flächenberechnung des Sterns ist es sinnvoll, den Stern infünf kongruente große Dreiecke (gelb) und in fünf kongruente kleineDreiecke (grün) zu zerlegen.AStern= 5 ⋅ A + 5 ⋅ ADreieck kleinDreieck großStrecke AB = 8mWinkel AMB = 72°Winkel MAB = Winkel ABM = 54° ((180°-72°)/2)Winkel ACB = 72° (=180°- 2* 54°)Um die Fläche des kleinen Dreiecks zu berechnen, wird das gleichseitige Dreieck in zweirechtwinklige Dreiecke zerlegt und im Anschluss daran die Höhe mit Hilfe des Tangens berechnet.Gegenkathete 4mtan( 36°) ==⇔ hDreieckklein= 5,51mAnkathete h1ADreieck klein= ⋅8m⋅hDreieckklein=2Dreieck klein22,04m²Analog dazu wird die Fläche des großen Dreiecks berechnet, indem das gleichseitige Dreieck in zweirechtwinklige Dreiecke zerlegt und die Höhe mit Hilfe des Tangens berechnet wird.hDreieckgroßtan( 72°) =⇔ hDreieckgroß= 12,31m4m1ADreieck groß= ⋅8m⋅hDreieckgroß=249,24m²Die Fläche des gesamten Sterns ergibt sich somit zu:A= 5⋅A + 5⋅A = 5⋅22,04m²+ 5⋅49,24m²356,4m²Stern Dreieck klein Dreieck groß=