Mengenlehre[PDF]

DAS ERSETZUNGSAXIOMDas Ersetzungsaxiom(enschema) besagt, dass das Bild F (a) einerMenge a unter einer (definierbaren) Funktion F wiederumeine Menge ist (dabei muss die Funktion F selbst keine Mengesein sondern kann eine eigentliche Klasse sein).ERSETZUNGSAXIOM (ErsS)DAS UNENDLICHKEITSAXIOMDie bisher eingeführten Axiome sichern noch nicht die Existenzeiner unendlichen Menge.UNENDLICHKEITSAXIOM (Un)∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x))ϕ beschreibt den Graphen einer Funktion F ϕ→∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x(x ∈ a ∧ ϕ(x, z)))Die kleinste derartige Menge ist gerade die Menge der natürlichenZahlen N = {0, 1, . . . }.DAS POTENZMENGENAXIOMDas Potenzmengenaxiom besagt, dass die Potenzklasse einerMenge wiederum eine Menge ist. Hierbei ist die PotenzklasseP(A) der Klasse A durchdefiniert.P(A) = {b : b Menge ∧ b ⊆ A}POTENZMENGENAXIOM (Pot)∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ a)DAS FUNDIERUNGSAXIOMWährend die bisher eingeführten Axiome die Bildung von Mengenerlauben, schränkt das letzte ZF-Axiom die Mengenbildung ein.FUNDIERUNGSAXIOM (Fun)a ≠ ∅ → ∃x ∈ a(x ∩ a = ∅)D.h. jede nichtleere Menge a besitzt ein Element x, das keinElement von a als Element enthält.In Russels typisierter Mengenlehre gilt dieses Axiom. Man betrachtethierzu ein Element x von a dessen Typ minimal ist.Man kann auf das Fundierungsaxiom verzichten, erhält dann aber der gängigenVorstellung widersprechende Mengen. ZF 0 bezeichne ZF ohne das Fundierungsaxiom.