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Mengenlehre[PDF]
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KLASSEN UND KLASSENTERME2. Die Zermelo - Fraenkel -Mengenlehre (ZF)Ist ϕ(x) eine Formel, so schreiben wira ∈ {x : ϕ(x)} :≡ ϕ(a)und nennen {x : ϕ(x)} den von ϕ definierten Klassenterm.Anschaulich bezeichnet der Klassenterm {x : ϕ(x)} die Klassealler Mengen mit Eigenschaft ϕ.DIE SPRACHE DER ZF-MENGENLEHREDie Sprache L ZF = L(∈) von ZF enthält als einziges nichtlogischesZeichen das 2-st. Relationszeichen ∈, das die Elementschaftsrelationbezeichnet. (Wir benutzen die übliche Infixschreibweise.)Im Folgenden bezeichnen wir freie Variablen mit a, b, c, a i , . . . , gebundeneVariablen mit x, y, z, x i , . . . .Eine Variable a steht also für eine Menge, a ∈ b besagt, dass aElement von b ist.Wir erhalten Klassen, indem wir alle Mengen mit einer gewissenEigenschaft zusammenfassen.GLEICHHEIT VON MENGEN: DAS EXTENSIONA-LITÄTSPRINZIPDas Extensionalitätsprinzip besagt, dass zwei Mengen (oder Klassen)genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente besitzen.In ZF wird dies formalisiert durch:EXTENSIONALITÄTSAXIOM (Ext)a = b ↔ ∀ x (x ∈ a ↔ x ∈ b)Wir können dies auf Klassenterme übertragen, indem wir schreiben:{x : ϕ(x)} = {x : ψ(x)} :≡ ∀ x (ϕ(x) ↔ ψ(x))
Das Extensionalitätsaxiom erlaubt uns Vereinigung ∪, Durchschnitt∩, Differenz − sowie die Teilmengenrelation ⊆ wie folgtdarzustellen:• a ∪ b = c :≡ ∀x(x ∈ c ↔ x ∈ a ∨ x ∈ b)• a ∩ b = c :≡ ∀x(x ∈ c ↔ x ∈ a ∧ x ∈ b)• a − b = c :≡ ∀x(x ∈ c ↔ x ∈ a ∧ x ∉ b)DAS AUSSONDERUNGSAXIOMFassen wir alle Mengen mit einer Eigenschaft ϕ zusammen, soerhalten wir mit {x : ϕ(x)} i.a. nur eine Klasse. Betrachten wiraber nur die Mengen mit Eigenschaft ϕ innerhalb einer Menge a,so erhalten wir wiederum eine Menge.AUSSONDERUNGSAXIOM(enschema) (Aus)∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))• a ⊆ b :≡ ∀x(x ∈ a → x ∈ b)NB Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt jedoch nicht, dass a ∪ b(usw.) tatsächlich eine Menge ist, also ein c mit a∪b = c existiert.Hiermit lassen sich also Teilmengen einer Menge als Menge nachweisen,solange diese durch eine definierbare Eigenschaft (d.h.Formel) ausgesondert werden können.MENGENBILDUNGSAXIOMEDie weiteren Axiome von ZF beschreiben mit einer Ausnahme(dem Fundierungsaxiom, das wir zum Schluss behandeln werden),wie wir Mengen bilden können, d.h. gewisse Klassen alsMengen nachweisen können.Diese Mengenbildungsaxiome sind:• Aussonderungsaxiom (Aus) (kann weggelassen werden)• Nullmengenaxiom (Null)• Paarmengenaxiom (Paar)• Summen(=Vereinigungs)axiom (Sum)• Ersetzungsaxiom(enschema) (ErsS)• Potenzmengenaxiom (Pot)• Unendlichkeitsaxiom (Un)BEISPIELDer Durchschnitt von zwei Mengen a und b ist wiederum eineMenge. Nämlichdafür∃y(y = a ∩ b)∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))ϕ(x) :≡ x ∈ b.
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KLASSEN UND KLASSENTERME2. Die Zermelo - Fraenkel -<strong>Mengenlehre</strong> (ZF)Ist ϕ(x) eine Formel, so schreiben wira ∈ {x : ϕ(x)} :≡ ϕ(a)und nennen {x : ϕ(x)} den von ϕ definierten Klassenterm.Anschaulich bezeichnet der Klassenterm {x : ϕ(x)} die Klassealler Mengen mit Eigenschaft ϕ.DIE SPRACHE DER ZF-MENGENLEHREDie Sprache L ZF = L(∈) von ZF enthält als einziges nichtlogischesZeichen das 2-st. Relationszeichen ∈, das die Elementschaftsrelationbezeichnet. (Wir benutzen die übliche Infixschreibweise.)Im Folgenden bezeichnen wir freie Variablen mit a, b, c, a i , . . . , gebundeneVariablen mit x, y, z, x i , . . . .Eine Variable a steht also für eine Menge, a ∈ b besagt, dass aElement von b ist.Wir erhalten Klassen, indem wir alle Mengen mit einer gewissenEigenschaft zusammenfassen.GLEICHHEIT VON MENGEN: DAS EXTENSIONA-LITÄTSPRINZIPDas Extensionalitätsprinzip besagt, dass zwei Mengen (oder Klassen)genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente besitzen.In ZF wird dies formalisiert durch:EXTENSIONALITÄTSAXIOM (Ext)a = b ↔ ∀ x (x ∈ a ↔ x ∈ b)Wir können dies auf Klassenterme übertragen, indem wir schreiben:{x : ϕ(x)} = {x : ψ(x)} :≡ ∀ x (ϕ(x) ↔ ψ(x))
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