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Mengenlehre[PDF]
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DIE VON-NEUMANN-HIERARCHIEDie Von-Neumann-Hierarchie 〈V α : α ∈ On〉 ist definiert durch• V 0 = ∅ • V α+1 = P(V α ) • V λ = ⋃ ξ ω ist (V λ , ∈) ein Modell von ZF - (ErsS).• Die Frage, ob es ein α gibt, sodass (V α, ∈) ein Modell von ZF ist, hängtmit der Frage nach der Existenz sog. großer Kardinalzahlen zusammen.(Deren Existenz lässt sich in ZF(C) nicht beweisen.)KARDINALITÄTZwei Mengen a und b haben die gleiche Kardinalität (sind gleichmächtig),falls es eine Bijektion f : a → b gibt. Wir schreibendann |a| = |b|.Offensichtlich ist die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation. Anschaulichkönnen wir daher die Kardinalzahlen als die Äquivalenzklassen der Gleichmächtigkeitdefinieren. Diese Äquivalenzklassen sind jedoch eigentliche Klassen,keine Mengen, weshalb wir geeignete Repräsentanten auswählen müssen.Formal werden wir die Kardinalzahlen über die Ordinalzahlen(d.h. als spezielle Ordinalzahlen) einführen. Damit lässt sich jederwohlgeordneten Menge ihre Kardinalzahl eindeutig zuordnen.Wegen des Wohlordnungssatzes kann man daher in ZFC jederMenge ihre Kardinalzahl zuordnen sowie zeigen, dass die Klasseder Kardinalzahlen wohlgeordnet ist.ENDLICHE MENGEN5. KardinalzahlenWir nennen a endlich, falls |a| = |n| für eine natürliche Zahl ngilt, und sagen in diesem Fall, dass a Kardinalität n hat.Zur Erinnerung: Wir schreiben n für n und n hat gerade n Elemente.Die Kardinalität endlicher Mengen lässt sich durch|m| ≤ |n| :⇔ m < nvergleichen. Dies lässt sich auf natürliche Weise auf alle Kardinalitätenfortsetzen.
VERGLEICH VON KARDINALITÄTENWir sagen, dass die Kardinalität von a kleiner-gleich der Kardinalitätvon b ist, |a| ≤ |b|, falls es eine injektive Abbildung f : a → bgibt. Wir schreiben |a| < |b|, falls |a| ≤ |b| und |a| ̸= |b|.Dass durch |a| < |b| eine partielle Ordnung auf den Kardinalitätendefiniert wird zeigt der folgendeSATZ VON CANTOR UND BERNSTEIN. Gilt |a| ≤ |b| und |b| ≤|a|, so gilt auch |a| = |b|.Um zu zeigen, dass die Ordnung |a| < |b| total ist, werden wir alsnächstes den Begriff der Kardinalzahl |a| einer (wohlgeordneten)Menge a präzisieren.UNENDLICHE KARDINALZAHLEN IDie kleinste unendliche Kardinalzahl ist die Ordinalzahl ω. Mengena mit |a| = ω heißen abzählbar, Mengen a mit |a| > ωüberabzählbar. Die Existenz überabzählbarer Mengen ergibt sichaus demSATZ VON CANTOR. Für alle Mengen a gilt, |a| < |P(a)|.BEWEIS. |a| ≤ |P(a)| ergibt sich aus der Injektivität der Funktion f : a → P(a)mit f(a) = {a}. Die Striktheit der Ungleichung zeigt man indirekt.Widerspruchsannahme: Es gelte |a| = |P(a)|. Dann gibt es g : a → P(a)surjektiv. Definiere • d = {x ∈ a : x ∉ g(x)}.Dann gilt d ⊆ a d.h. d ∈ P(a). Wegen der Surjektivität von g gibt es also einx d ∈ a mit g(x d ) = d. Das ist aber unmöglich wegen:• x d ∈ d ⇔ Definition von d x d ∉ g(x d ) = Wahl von xd d(Cantorsches Diagonalargument)KARDINALITÄTEN WOHLGEORDNETER MENGENIst a wohlgeordnet (via 0 Limeszahl)Wie man leicht sieht gilt ℵ α < ℵ β für α < β.
- Seite 1 und 2: DER MENGENBEGRIFF NACH CANTORMENGEN
- Seite 3 und 4: ZERMELO - FRAENKEL MENGENLEHREDer p
- Seite 5 und 6: Das Extensionalitätsaxiom erlaubt
- Seite 7 und 8: DAS ERSETZUNGSAXIOMDas Ersetzungsax
- Seite 9 und 10: ANMERKUNGEN ZUR KONSISTENZ VON ZFWi
- Seite 11 und 12: ORDNUNGSTYPEN VON WOHLORDNUNGENDer
- Seite 13: ORDINALZAHLARITHMETIK: MULTIPLIKATI
DIE VON-NEUMANN-HIERARCHIEDie Von-Neumann-Hierarchie 〈V α : α ∈ On〉 ist definiert durch• V 0 = ∅ • V α+1 = P(V α ) • V λ = ⋃ ξ ω ist (V λ , ∈) ein Modell von ZF - (ErsS).• Die Frage, ob es ein α gibt, sodass (V α, ∈) ein Modell von ZF ist, hängtmit der Frage nach der Existenz sog. großer Kardinalzahlen zusammen.(Deren Existenz lässt sich in ZF(C) nicht beweisen.)KARDINALITÄTZwei Mengen a und b haben die gleiche Kardinalität (sind gleichmächtig),falls es eine Bijektion f : a → b gibt. Wir schreibendann |a| = |b|.Offensichtlich ist die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation. Anschaulichkönnen wir daher die Kardinalzahlen als die Äquivalenzklassen der Gleichmächtigkeitdefinieren. Diese Äquivalenzklassen sind jedoch eigentliche Klassen,keine Mengen, weshalb wir geeignete Repräsentanten auswählen müssen.Formal werden wir die Kardinalzahlen über die Ordinalzahlen(d.h. als spezielle Ordinalzahlen) einführen. Damit lässt sich jederwohlgeordneten Menge ihre Kardinalzahl eindeutig zuordnen.Wegen des Wohlordnungssatzes kann man daher in ZFC jederMenge ihre Kardinalzahl zuordnen sowie zeigen, dass die Klasseder Kardinalzahlen wohlgeordnet ist.ENDLICHE MENGEN5. KardinalzahlenWir nennen a endlich, falls |a| = |n| für eine natürliche Zahl ngilt, und sagen in diesem Fall, dass a Kardinalität n hat.Zur Erinnerung: Wir schreiben n für n und n hat gerade n Elemente.Die Kardinalität endlicher Mengen lässt sich durch|m| ≤ |n| :⇔ m < nvergleichen. Dies lässt sich auf natürliche Weise auf alle Kardinalitätenfortsetzen.
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