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ORDINALZAHLARITHMETIK: ADDITIONWOHLORDNUNGEN VS. ORDINALZAHLENSATZ. Zu jeder wohlgeordneten Menge (a,
ORDINALZAHLARITHMETIK: MULTIPLIKATION UNDPOTENZMultiplikation und Potenz werden entsprechend wie in N durchRückgriff auf + bzw · rekursiv definiert:• α · 0 := 0• α · (β + 1) := (α · β) + α• α · λ = lim β→λ (α · β) (λ > 0 Limeszahl)Im folgenden geben wir noch zwei interessante Beispiele für Anwendungenvon transfiniten Induktionen bzw. Rekursionen.• α 0 := 1• α β+1 := α β · α• α λ = lim β→λ α β (λ > 0 Limeszahl)NB. · ist assoziativ aber i.a. nicht kommutativ. Z.B. gilt2 · ω = ω ≠ ω · 2 = ω + ωCANTORS NORMALFORMTHEOREMJede Ordinalzahl α > 0 lässt sich eindeutig darstellen alsα = ω β 1 · k 1 + · · · + ω βn · k n ,wobei n ≥ 1, α ≥ β 1 > β 2 > · · · > β n und k 1 , . . . , k n ∈ N − {0}.NB. I.a. kann β 1 nicht echt kleiner als α gewählt werden. Stimmen α und β 1überein, so ist n = k 1 = 1, d.h. α = ω α . Das kleinste derartige α wird mitɛ 0 bezeichnet. Es spielt in der Beweistheorie eine wichtige Rolle. In PA lässtsich die Korrektheit der transfiniten Induktion (bei geeigneter Gödelisierungder Ordinalzahlen) gerade für alle Ordinalzahlen α < ɛ 0 beweisen. Umgekehrtreicht eine transfinite Induktion bis ɛ 0 aus, um die Konsistenz von PAnachzuweisen. ɛ 0 charakterisiert also die Beweisstärke von PA. Entsprechendkonnte man die Beweisstärke anderer Theorien durch Angabe ihrer kritischenOrdinalzahl charakterisieren.DER WOHLORDNUNGSSATZDie Frage, ob sich auf jeder Menge a eine Wohlordnung definieren lässt, lässtsich in ZF nicht entscheiden. Bei Hinzunahme des Auswahlaxioms, d.h. inZFC erhalten wir aber:WOHLORDNUNGSSATZ (ZFC). Jede Menge a lässt sich wohlordnen.BEWEIS. Sei f eine Auswahlfunktion für a, d.h. f(b) ∈ b für jede nichtleereTeilmenge b von a. Wir geben eine transfinite Aufzählung 〈a α : α < β〉 (βgeeignet) von a ohne Wiederholungen (d.h. a = {a α : α < β} und a α ≠ a α′ forα ≠ α ′ ). Dann erhalten wir die gewünschte Wohlordnung < von a (vom Typ(β, ∈))) durcha α < a α′ :⇔ α ∈ α ′ .a α definieren wir durch transfinite Rekursion wie folgt:a α := f(a − {a ξ : ξ < α})falls a − {a ξ : ξ < α} ≠ ∅ und wir setzen β := α für das kleinste α mita − {a ξ : ξ < α} = ∅.NB. Eine unendliche Menge lässt sich auf verschiedene Weisen wohlordnen.
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