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Friedrich U. MathiakGrundlagen der Statik

Lateinische Schrifta b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v wx y z ß ä ö üA B C D E F G H I J K L M N O P Q R S TU V W X Y Z Ä Ö ÜGriechische Schriftα β γ δ ε ς η ϑ ι κ λ µAlphaBeta GammaDeltaEpsilonZeta EtaTheta Jota Kappa LambdaMyν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ωNyKsiOmikronPiRhoSigma Tau YpsilonPhi Chi PsiOmegaΑ Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ ΜAlpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda MyΝ Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ ΩNy Ksi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

1-3a) Bestimmen Sie die Gleichung der durch die Punkte P 1 , P 2 , P 3 bestimmten Ebene in Parameterform.b) Überprüfen Sie, ob die Punkte A und B in dieser Ebene liegen.c) Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt D des Lotes vom Punkt B auf dieser Ebened) Berechnen Sie die Länge des Lotes BD.Aufgabe 1-7Ausgehend von der Parameterdarstellung: r = 0P1 + λP1P + µ P2 1P3der Ebene E aus Aufgabe 1-6 bestimmen Sie die Hessesche Normalform dieser Ebene.1. Wie groß ist der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung?2. Wie weit sind die Punkte B (1 ; 2 ; -1) und C (5 ;-2 ; -2) von der Ebene entfernt?Aufgabe 1-8Die Grundfläche A,B,C,D einer Pyramide seiein Parallelogramm, das durch die Vektoren aund b aufgespannt wird. Der Vektor zur Spitzesei c.Bestimmen Sie die Kantenlängen der Pyramide,die von ihnen eingeschlossenen Winkelsowie die Vektoren a AM und a MS .Geg.: a = { 1 ; 2;0} ;b = { 2;11 ; };c= { 3;3;2}Aufgabe 1-9Ein Dreieck ist durch die Punkte A, B, C im Raumfestgelegt: A = {0;2;1} ; B = {0;0;3} ; C = {2;3;0}1. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?2. Gesucht ist der Normaleneinheitsvektor n, dersenkrecht auf der Dreiecksfläche steht und nachaußen zeigt.3. Liegt der Punkt P = {1;1;2} in der Ebene, diedurch die Punkte A, B, C aufgespannt wird?

1-4 1 Grundlagen der VektorrechnungAufgabe 1-10Welcher Punkt*x der Geradena) ist dem Nullpunkt am nächsten?b) Welchen Abstand hat der Punktx = x1 + λg*x von der Geraden?Aufgabe 1-11Vorgegeben seien die beiden windschiefen Geradenmitx = x+xg111+ λ gx = x12t g2=={ 4;12; − 1} x2= { 1;4;3 }{ − 1;4; − 1} g = { − 3;4;1 }a) Gesucht ist der kürzeste Abstand dieser beiden Geraden.b) Geben Sie die Lage der beiden Punkte auf den Geraden an, zwischen denen der kürzesteAbstand besteht.2Aufgabe 1-12Beweisen Sie durch Ausrechnen anhand des Zahlenbeispiels mitdie Richtigkeit der Formeln{ 1 ; 2;3} b = { 2;2;4} c = { 3;1;5} d { 2;2;3}a ==a × ( b × c) = ( a ⋅ c) b − ( a ⋅ b)c( a × b) ⋅ ( c × d) = ( a ⋅ c)( b ⋅ d) − ( a ⋅ d)( b ⋅ c)( a × b) × ( c × d) = [ a, c, d] b − [ b, c,d]aAufgabe 1-13Durch die Punkte A, B, und C wird ein Tetraederfestgelegt.A = {0;2;1};B = {0;0;3};C = {2;3;0}1. Wie groß ist die Oberfläche des Tetraeders?2. Wie groß ist das Volumen des Tetraeders?

1-5Aufgabe 1-14Leiten Sie mit Hilfe der Vektorrechnung dieGleichung der Ellipse in Polarkoordinatenher:r( ϕ)=aa +− ff cos ϕ2 2mit r( ϕ) r( ϕ)= ; f = f

1-6 1 Grundlagen der VektorrechnungFragen:1. Wie viele Zahlenangaben werden benötigt, um eine vektorielle Größe festzulegen?2. Worin besteht bei einer schiefwinkligen Basis der Unterschied zwischen den Projektionenund den Komponenten einer vektoriellen Größe?3. Erläutern Sie die Begriffe Koordinate und Komponente eines Vektors.4. Was ist ein Basissystem?5. Welche Basissysteme kennen Sie?6. Bei welchen Bezugssystemen können wir die Zahlenwerte des Ortsvektors zugleich alsKoordinaten interpretieren?

2-12 Reduktion von Kräftesystemen am starren KörperAufgabe 2-1Auf den skizzierten Quader mit den Seitenlängena, b und c wirken die Kräfte F 1 bis F 6 .Es sind die Resultierende R und die resultierendenMomente der Einzelkräfte bezogen aufdie Punkte A und B zu berechnen. Außerdemsind die Beträge der Momentenvektoren zuermitteln.Geg.: F 1 = F 2 = 2F, F 3 = F 4 = 3F, F 5 = F 6 = 4FAufgabe 2-2Ermitteln Sie für die Kräfte K 1 bis K 3 , dieparallel zu den Kanten eines starren Dreiecksmit den Eckpunkten r 1 bis r 3 angreifen:a) die resultierende Kraft R nach Betrag undRichtungb) das resultierende Moment M der bezüglichdes Koordinatenursprungs „0“K = 5kNr = 2;− 2;4 mKK123= 6kN= 4kNrr123=={ } [ ]{ 4;3;0} [ m]{ 4;4;1} [ m]Aufgabe 2-3An einem starren Körper wirken die Kraft Fim Punkte P und das Moment M 1 .Ermitteln Sie1. das resultierende Moment M und dessenBetrag bezüglich der Achse A-B.2. Reduzieren Sie das Kräftesystem auf denPunkt B.Geg.: F = ( 2;−2;−1)N, M1( − 2;−3;2)A = ( 2 ; 4;4)m, B = ( 4 ; 5;6)m, ( 3 ; 7;4)= NmP = m.

2-2 2 Reduktion von Kräftesystemen am starren KörperAufgabe 2-4Ermitteln Sie die Resultierende der beiden Kräfte K 1 und K 2 nach Größe und Richtung. DieKräfte K 1 und K 2 greifen im selben Punkt an. Die x-Komponente der Kraft K 1 beträgt 30 kN,die Projektion der Kraft K 1 auf die z-y-Ebene hat den Betrag 20 kN und schließt mit der z-Achse den Winkel α = 60° ein. Die Kraft K 2 hat den Betrag 40 kN und schließt mit der x-Achse den Winkel β = 45° ein. Die Projektion der Kraft K 2 auf die x-y-Ebene schließt mit dery-Achse den Winkel γ = 70° ein.Hinweis: Die y-Komponente der Kraft K 1 ist positiv (K 1y > 0).Aufgabe 2-5Ermitteln Sie für die Kräfte K 1 bis K 3 , die anden Punkten r 1 bis r 3 angreifen:a) Die resultierende Kraft Rb) Das resultierende Moment M der Kräfte K 1bis K 3 bezüglich einer Achse durch den Koordinatenursprungmit dem Richtungsvektor1n = { 3;1;6}46rK1= { − 2;−1;2}; K2= { 1;2;1};3{ 1;3;1}= { −1;− 2 3}; r = { 5;−1 0}; { 1;4 2}1;2;K = kN]r = [m]3 ;Aufgabe 2-6Bestimmen Sie für die skizzierte Kräftegruppea) grafischb) analytischdie Größe und Lage der resultierenden Kraft.Aufgabe 2-7

2-3Für das links dargestellte ebene Kräftesystem,das an einem starren Körper angreift, ist dieResultierende nach Betrag, Lage, Richtungund Orientierung gesucht.Geg.: P 1 = 30 kN, P 2 = 20 kN, P 3 = 50 kN,P 4 = 40 kNa = 3 m, b = 2 m, α = 45°, β =30 °, γ = 60°.Aufgabe 2-8An einer Scheibe greifen vier Einzelkräfte F 1 ...F 4 und ein Moment M 1 an.1. Wie groß ist die resultierende Kraft R und das resultierende Moment M bezüglich desPunktes A?2. Existiert eine Gerade g in der x-y-Ebene, so daß das resultierende Moment bezüglich jedesPunktes der Geraden verschwindet?Geg.: F 1 = 80N; F 2 = 100N; F 3 = 40N; F 4 = 200N; M 1 = 40Nm; α = 30°Aufgabe 2-9Die Punkte A, B und C bilden die Eckpunkte einesDreiecks. An diesem Dreieck greifen wie skizziertdie Kraft F 1 und das Moment M 1 an.1. Reduzieren Sie das System aus Kraft und Momentauf den Punkt A.2. Berechnen Sie das Moment der Kraft F 1 bezogenauf die y-Achse.{ ; ; } m ; r { 1; 1;2}r B = 1 1 2{ }C = − − −F 1 = − 1; 0; 1 N; M = Nm1 6mAufgabe 2-10

2-4 2 Reduktion von Kräftesystemen am starren KörperErmitteln Sie das Moment der Kraft F bezüglichder Achse g.Hinweis: Alle Maße in mAufgabe 2-11Die skizzierte Belastung auf eine starreStützmauer ist durch eine mechanisch äquivalenteEinzelkraft zu ersetzen.Bestimmen Sie die resultierende Kraft nachLage, Richtung und Orientierung.Geg.:E 1 = 30 kN; E 2 = 15 kN, W = 16 kN,G 1 = 77 kN, G 2 = 40 kNHinweis: Alle Maße in mm

2-5Aufgabe 2-12In den Punkten P 1 , P 2 , P 3 greift das räumliche Kräftesystem F 1 , F 2 , F 3 an. Bestimmen Sie:1. Die Resultierende R und ihren Betrag2. Das auf den Punkt „0“ bezogene Moment M3. Die Komponente M ⊥ des Momentes M in Richtung der Flächennormalen n der Ebenedurch die Punkte P 1 , P 2 , P 34. Die in die Ebene fallende Komponente M IIdes Momentes M1= ( a, 0,) m;P2 = ( 0,2a,0) m;P = 3( 0,0,a) m;1 = ( 0,,F ) N;F 2 = ( F , 0,0) N;F 3 = ( 0,F , 0) N;P 0F 0

2-6 2 Reduktion von Kräftesystemen am starren KörperFragen:1. Wie leitet sich die Größenart Kraft aus den Basisgrößenarten Masse, Länge und Zeit ab?2. Welche Arten von äußeren Kräften begegnen uns in der klassischen Mechanik? Wie beschreibenwir ihre Verteilungen?3. Wie unterscheiden sich die Aufgaben, zu einem gegebenen ebenen, zentralen KräftesystemF i die Resultierende zu finden bzw. die Kraft, die mit diesen Kräften ein Gleichgewichtssystembildet?4. Wieviel skalare Bedingungen umfaßt die Gleichgewichtsbedingung für ebene, zentraleKräftesysteme?5. Wieviel Nebenbedingungen können wir vorschreiben bei einem zentralen, ebenen Gleichgewichtssystem,das drei unbekannte Kräfte enthält?6. Eine Kraft F soll in zwei Komponenten, deren positive Richtungen vorgegeben sind, zerlegtwerden. Für welche Richtungsbereiche der Kraft F erhalten die skalaren Größen derKomponenten positives, für welche negatives Vorzeichen?7. Wie errechnet man den Betrag der resultierenden Krafta) bei einem orthogonalenb) bei einem schiefwinkligen System von zwei Kräften?8. Welche verschiedene Fassungen können die analytischen Gleichgewichtsbedingungen fürzentrale Kräftesysteme annehmen?9. Wie ist das Moment einer Kraft in bezug auf eine Achse und wie in bezug auf einen Punktdefiniert?10. Wie ändert sich das Moment einer Kraft bei Veränderung der Bezugsachse bzw. des Bezugspunktes?11. Welches sind die Merkmale eines Kräftepaares?12. Wie ändert sich das resultierende Moment eines Kräftepaares bei Veränderung des Bezugspunktesbzw. bei Veränderung der Bezugsachse (bei Parallelverschiebung der Achse,bei allgemeinen Änderungen der Achslage)?13. Welche notwendigen Bedingungen gelten für die Wirkungslinien von zwei bzw. von dreiKräften, die ein Gleichgewichtssystem bilden sollen?14. Was ergibt die Zusammensetzung einer Einzelkraft F und eines Kräftepaares, dessen resultierendesMoment M senkrecht zu F ist?15. Welche Fassungen können wir der Gleichgewichtsbedingung für allgemeine räumlicheKräftesysteme geben bei Anwendung analytischer Methoden?16. Welche Ausnahmefälle sind bei der analytischen Formulierung der Gleichgewichtsbedingungenbei ebenen und bei räumlichen allgemeinen Kräftesystemen zu vermeiden? Wiesind diese Ausnahmefälle zu begründen?

2-8 2 Reduktion von Kräftesystemen am starren Körper

3-13 Physikalische und geometrische Größen von Körpern,Flächen und LinienAufgabe 3-1Über welchem Punkt P muß ein Kranhakenangebracht werden, damit das nebenstehendskizzierte Bauteil in waagerechter Lage desOberteils angehoben werden kann?a a aGeg.: a, s1= , s2= , s3=12 8 10Aufgabe 3-2Bestimmen Sie für den aus zwei verschiedenenMaterialien zusammengesetzten Körperdie Koordinaten des Schwerpunktes S.Geg.: a,γ = 10 γ .ehAufgabe 3-3Bestimmen Sie für den nebenstehend skizziertenhomogenen Körper die Koordinatendes Volumenmittelpunktes S.Geg.: a

3-2 3 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und LinienAufgabe 3-4Ermitteln Sie für das dargestellte Fertigteil derDicke d aus homogenem Material die Koordinatendes Volumenmittelpunktes S.Geg.: a, dAufgabe 3-5Berechnen Sie für den abgebildeten homogenenKörper die Koordinaten des VolumenmittelpunktesS.Aufgabe 3-6Berechnen Sie für den nebenstehenden homogenenKörper die Koordinaten des VolumenmittelpunktesS.Aufgabe 3-7Ermitteln Sie für die nebenstehende Geometrie:a) die Lage des Flächenmittelpunktesb) die Koordinaten des Linienmittelpunktes.

3-3Aufgabe 3-8Bestimmen Sie für die nebenstehend skizziertehomogene Platte gleichmäßiger Dicke dmit kreisförmiger Aussparung die Lage desVolumenmittelpunktes S.Geg.: a, dAufgabe 3-9Ermitteln Sie für das in dargestellte Fertigteilaus homogenem Material der Dicke d die Koordinatendes Volumenmittelpunktes.Geg.: a, dAufgabe 3-10Ermitteln sie für den skizzierten Grundriß(angelegter Bereich) eines Hochhauses1. den Flächenmittelpunktes,2. die Richtungen der Hauptträgheitsachsen,3. die Hauptträgheitsmomente.Geg.: aAufgabe 3-11Ermitteln Sie die Lage des FlächenmittelpunktesS der durch die beiden Kreisbögenmit den Radien a und 2a begrenzten Fläche.Geg.: a

3-4 3 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und LinienAufgabe 3-12Bestimmen Sie die Oberfläche und das Volumendes Körpers, der durch Rotation der nebenstehendskizzierten Fläche um die x...x-Achse entsteht.Geg.: a, ϕ = 30°Aufgabe 3-13Ermitteln Sie für den unten skizzierten Querschnitteines Fertigteils1. die Koordinaten des FlächenmittelpunktesS,2. die Richtungen der Hauptträgheitsachsenund3. die HauptträgheitsmomenteAufgabe 3-14Für den skizzierten Querschnitt sind1. die Lage des Flächenmittelpunktes,2. die Lage der Hauptträgheitsachsen und3. die Hauptträgheitsmomentezu bestimmen. Die Abweichungen der Einzelflächenvom Rechteckquerschnitt sollenunberücksichtigt bleiben.Geg.: a

3-5Aufgabe 3-15Ermitteln Sie für den skizzierten Querschnitt:a) die Koordinaten des Flächenmittelpunktes,b) die Hauptträgheitsmomente,c) die Richtungen der Hauptträgheitsachsen.Hinweis: Alle Maße in mmAufgabe 3-16Ermitteln Sie für den skizzierten Querschnitta) die Koordinaten des Flächenmittelpunktesb) die Hauptträgheitsmomente,c) die Richtungen der Hauptträgheitsachsen.Hinweis: Alle Maße in cmAufgabe 3-17Ermitteln Sie für den schraffiert dargestelltenKreisabschnitt:1. die Lage des Flächenmittelpunktes S2. das axiale Flächenträgheitsmoment I xxGeg.: a, α 0.Hinweis:2 1 1∫ sin ϕ dϕ= ϕ − sin 2ϕ2 4

3-6 3 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und LinienAufgabe 3-18Für den skizzierten Dreiecksquerschnittsind1. die Koordinaten des FlächenmittelpunktesS und2. die Richtung der Hauptträgheitsachsenzu ermitteln.Geg.: b, h, aAufgabe 3-19Bestimmen Sie für den skizzierten Querschnitt1. die Koordinaten des FlächenmittelpunktesS,2. die Hauptträgheitsmomente,3. die Richtungen der HauptträgheitsachsenAufgabe 3-20Für den skizzierten Querschnitt sind1. die Lage des Flächenmittelpunktes,2. die Lage der Hauptträgheitsachsen und3. die Hauptträgheitsmomentezu bestimmen. Die Abweichungen der Einzelflächenvom Rechteckquerschnitt sollenunberücksichtigt bleiben.Geg.: a

3-7Aufgabe 3-21Ermitteln Sie für den skizzierten Querschnitt:a) die Koordinaten des Flächenmittelpunktes,b) die Hauptträgheitsmomente,c) die Richtungen der Hauptträgheitsachsen.Aufgabe 3-22Ermitteln Sie für einen Rinnenträger mit nebenstehendskizziertem Querschnitt dieHaupträgheitsmomente und die Lage derHauptträgheitsachsen. Die Abweichungen derEinzelflächen vom Rechteckquerschnitt sollenunberücksichtigt bleiben.Geg.: a, α = 30 ° .Aufgabe 3-23Ermitteln Sie für den nebenstehend skizziertenQuerschnitt:a) die Koordinaten des Flächenmittelpunktes,b) die Hauptträgheitsmomente,c) die Richtungen der Hauptträgheitsachsen.Hinweis: Alle Maße in mm

3-8 3 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und LinienAufgabe 3-24Bestimmen Sie für ein beliebig polygonalbegrenztes Gebiet, das durch die Koordinatenseiner n Eckpunkte gegeben ist, für den eingeschlossenenQuerschnitt:a) die Fläche,b) die statischen Momente,c) den Flächenmittelpunkt,d) die Flächenträgheitsmomente.Aufgabe 3-25Ermitteln Sie für den links skizzierten Querschnittdie Hauptträgheitsmomente und dieLage der Hauptträgheitsachsen.Geg.: aAufgabe 3-26Ermitteln Sie die Lage des FlächenmittelpunktesS der skizzierten Halbellipse.Geg.: a, b

3-9Aufgabe 3-27Ermitteln Sie für das skizzierte homogeneFertigteil mit konstanter Dicke d. die Lage desVolumenmittelpunktes S.Hinweis: Alle Maße in cm.

3-10 3 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und LinienFragen:1. Unter welcher Bedingung fallen Massen-Mittelpunkt und Schwerpunkt eines Körpers zusammen?2. Unter welcher Bedingung fallen Massen-Mittelpunkt und Volumen-Mittelpunkt eines Körperszusammen?3. Welcher Unterschied besteht zwischen der Lage des Massen-Mittelpunktes (Volumen-Mittelpunktes) bei einem starren und bei einem deformierbaren Körper?4. Was gilt für die Definition des Schwerpunktes in einem inhomogenen Schwerefeld?5. Was gilt für die Momente 1. Grades in einem Zentralachsensystem?6. Wie finden wir den Mittelpunkt (Schwerpunkt) zusammengesetzter Körper (Flächen, Linien)?Welche Beziehung gilt insbesondere für den Mittelpunkt (Schwerpunkt) zweier Teilkörper(Teilflächen, Teillinien)?7. Welche einfache Beziehung gilt für den Mittelpunkt (Schwerpunkt) eines Polygonzuges?Wie ändern sich die Flächenmomente 2. Grades bei einer Drehung des Bezugssystems?8. Was sind die Hauptachsen einer Fläche? Welche Bedeutung haben sie?9. Wie verändern sich die Flächenmomente 2. Grades bei einer Parallelverschiebung des Bezugssystemsa) ausgehend von einer Mittelpunktslage?b) ausgehend von einer beliebigen Lage?10. Wann ändern sich die Hauptachsen bei einer Parallelverschiebung des Bezugssystems undwann nicht?11. Wie können wir die Flächenmomente 2. Grades numerisch berechnen?

4-14 SpannungenAufgabe 4-1σσσxxyyxy= −3,0N / cm= 4,5N / cm= 2,0N/ cm222Für einen Punkt in einem homogenen Material istder links skizzierte Spannungszustand gegeben.Ermitteln Sie mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises:a) die Hauptnormalspannungen und deren Richtungen,b) die Hauptschubspannungen und deren Richtungensowie die den Hauptschubspannungen zugeordnetenNormalspannungen,c) die Normal- und Schubspannungen auf einerunter α = -40° geneigten Fläche.Aufgabe 4-2Eine Scheibe der Dicke h ist bei x = 0 durch linearverteilte Schubspannungen und bei y = 0 durchlinear verteilte Normal- und Schubspannungenbelastet. Ermitteln Sie die Randwerte β, γ, δ, ε so,daß Gleichgewicht herrscht.Geg.: a, b, h, τ 0.

4-2 4 SpannungenAufgabe 4-3Für einen Punkt in einem homogenen Material sind zwei Spannungszustände aus verschiedenenLasteinflüssen gegeben.a) Wie groß sind die Hauptnormal- und Hauptschubspannungen des resultierenden Spannungszustandes?b) Welche Richtungen haben sie?c) Wie groß sind die Normal- und Schubspannungen auf einer unter 45° geneigten Fläche fürden resultierenden Spannungszustand?σσσxxyyxy= −2,0N / cm= 4,0N / cm= 1,0N / cm222σσσξξηηξη= −5,0N / cm= 2,0N / cm2= −3,0N / cm22Spannungszustand ISpannungszustand II

4-3Aufgabe 4-4Gegeben ist ein rechtwinkliger Ausschnitt einer zweifach geschweißten ebenen Platte. DieSpannungen σxx, σyy, σxy= σyxsind bekannt. Gesucht werden:1. Die Spannungen in den senkrecht aufeinander stehenden Schweißnähten A und B2. Welche Bedingung muß für die Lage der Schweißnähte gelten, damit sie schubspannungsfreisind und folglich nur Normalspannungen übertragen?Geg.: σ = 40kN / cm 2 , σ = 30kN / cm 2 , σ = σ = 8kN / cm2 ; α = 35°xx yy xy yx

4-4 4 SpannungenFragen1. Für wie viele Schnittrichtungen durch einen Punkt müssen wir den zugehörigen Spannungsvektorkennen, damit wir auch für jede beliebige andere Schnittrichtung durch diesenPunkt den zugehörigen Spannungsvektor angeben können?2. Warum benötigen wir nur sechs (statt neun) Zahlenwerte zur Festlegung des Spannungszustandesin einem Punkt?3. Wodurch ist ein ebener Spannungszustand gekennzeichnet und wie viele Zahlenangabensind erforderlich, um ihn zu beschreiben?4. Wie ändern sich die Zahlenwerte des Spannungstensors eines ebenen Spannungszustandesmit der Drehung der Schnittrichtung?5. Was kennzeichnet die Hauptachsen des Spannungszustandes?6. Was sind die Haupt-Normalspannungen?7. Wie sind die Haupt-Schubspannungen definiert?8. Welche Bedeutung haben die Invarianten des Spannungszustandes? Wie viele gibt es?Wie sind sie definiert?9. Welche Beziehung besteht zwischen der mittleren Normalspannung und den Invanriantendes Spannungszustandes?1. Jedem Punkt einer (gedachten) Schnittfläche können wir einen Spannungsvektor zuordnen.Wie erfolgt die Zerlegung dieses Spannungsvektors in Normal- und Schubspannung?2. Wie kann man sich etwa am Beispiel einfacher Erfahrungstatsachen klarmachen, daß derSpannungsvektor nicht nur von dem betrachteten Körperpunkt, sondern auch von derSchnittrichtung in diesem Punkt abhängt?3. Was besagt der Satz von der Gleichheit der einander zugeordneten Schubspannungen?4. Wieviel Zahlenangaben benötigen wir zur Festlegung des Spannungszustandes in einemKörperpunkt? Wie bezeichnet man die physikalische Größe, die den Spannungszustandkennzeichnet? Welche Eigenschaften hat sie?

5-15 Verschiebungen und VerzerrungenAufgabe 5-1Aus einer Dehnungsmessung in der Umgebungeines Punktes P wurden in den Richtungen a-a,b-b und c-c die folgenden Dehnungen gemessen.e aa = e 0 , e bb = ae 0 , e cc = be 0 (a, bErmitteln Sie:∈ R )a) die Koordinaten e xx , e yy , e xy des ebenen Verzerrungstensors,b) die Hauptdehnungen und deren Richtungen,c) die linearisierte Flächendehnungd) die Hauptgleitungen und deren Richtungen,α = 1, β = -1, ε 0 = 5%.Aufgabe 5-2In einem Körper ist das Verschiebungsfeld2 22 2w ( x, y,z ) = a( 2x+ y )e + a( 2x− 3y)e + be(a, b Konstanten) vorgegeben. Vor der Deformation befand sich die linke untere Ecke einesquaderförmigen Elementes mit den Kantenlängen dx, dy, dz im Punkt P(2; 1; 0). BestimmenSie für den Zustand nach der Deformation:a) die neue Lage des Punktes P,b) die neuen Längen der einzelnen Kanten,c) die Winkellagen der neuen Kanten,d) den mittleren Drehungswinkel des Elementes.xyz

5-2Fragen1. Wie sind Dehnungen und Gleitungen allgemein definiert?2. Wie sind die Verzerrungen eines Körperelementes definiert?3. Wieviel Zahlenangaben benötigen wir zur Festlegung des Verzerrungszustandes einesKörperelementes?4. Wie bezeichnet man die physikalische Größe, die den Verzerrungszustand kennzeichnet?Welche Eigenschaften hat sie?5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Verzerrungen eines Körperelementes unddem Verschiebungsfeld?6. Wie können wir die Verzerrungen in Volumen- und Gestaltänderungen aufteilen?7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Starrkörper-Verschiebungen (Translationund Rotation) und dem Verschiebungsfeld?

6-16 Materialgesetz, HookeAufgabe 6-1Ein quaderförmiger Körper mit den MaterialkonstantenE, ν, αt liegt zunächst spannungsfreizwischen zwei als starr anzunehmendenEbenen. Dann wird der Körper um∆ T erwärmtund in der skizzierten Weise durchDruck- und Zugkräfte belastet. Bestimmen Siea) den Verzerrungszustand des Körpers und dieKontaktkraft D zwischen dem Körper undden starren Ebenen,b) die Spannungen und Verzerrungen in einemum den Winkel ϕgedrehten Koordinatensystem.c) Geg.: P, ∆T, a,b,c,α , E,ν.t= π 6 um die z-AchseAufgabe 6-2Ein homogener elastischer Körper paßt genauin einen Hohlraum, dessen Wände als vollkommenstarr anzusehen sind. Ermitteln Sie:a) die auf die Oberflächen wirkenden Spannungen.b) Um welchen Betrag verringert sich dieGeg.:Quaderhöhe h, wenn der Quader mittels einerstarren Platte durch die Kraft P zusammengedrücktwird?b = d = 2 cm, h = 2,5 cm, P = 1,5 kN,E = 200 kN/cm 2 , ν = 0, 3.Aufgabe 6-3

6-2 6 Materialgesetz, HookeEin aus zwei Materialien (E 1 , E 2 ) zusammengesetzterStab ist gemäß Skizze durch eine axialangreifende Kraft P belastet. Bestimmen Sie:a) die Spannungen in den einzelnen Stabteilenb) die Verlängerung des Gesamtstabes.Geg.: E 1 , A 1 , E 2 , A 2 , P, l .Hinweis: Die Stabteile sind so miteinander verbunden,daß sie gleiche Dehnungen haben.Aufgabe 6-4Der beidseitig eingespannte Stab wird durchdie Kraft P belastet.Bestimmen Siea) die Normalkraftverteilung undb) die Verschiebung des Kraftangriffspunktes.Geg.: E 1 , A 1 , E 2 , A 2 , a, l, P.Aufgabe 6-5Die skizzierte Bolzenverbindung wird um∆ T = 80°C erwärmt.a) Welche Spannungen entstehen in den einzelnenStäben, wenn das System vor Beaufschlagungder Temperaturdifferenz ∆ T spannungsfrei war?b) Um welchen Betrag entfernen sich die beiden alsGeg.:starr anzunehmenden Kopfplatten?d 1 = 50 mm, d 2 = 15 mm,l = 6a = 1,0 m,7 2Est= 2,1⋅ 10 N/cm ,EK= 1,1⋅107N/cm2-5 -1-5 -1α = 1,2 ⋅10C , α = 1,65 ⋅10C .St°K°

6-3Aufgabe 6-6Das skizzierte statisch bestimmte Stabwerk wirddurch eine Einzellast F belastet. Bestimmen Sieunter der Voraussetzung kleiner Verformungen denSpannungs- u. Verformungszustand des Tragwerks.Geg.: l , A , A ,E ,E , F ., l 1 2 1 2 1 2

6-4 6 Materialgesetz, HookeFragen:1. Was charakterisiert einen elastischen Werkstoff2. Was bedeutet Isotropie, was Homogenität des Werkstoffes?3. Unter welchen Voraussetzungen gilt das verallgemeinerte Hookesche Gesetz? Wie leitenwir es aus einigen wenigen Versuchen ab?4. Wieviel Material-Konstanten gehen in das verallgemeinerte Hookesche Gesetz ein? Welche?Wieviel davon sind unabhängig voneinander?5. Was bedeuten geometrische und physikalische Linearität?6. Welche Eigenschaften kennzeichnen einen Körper als elastisch?7. Wie lautet das Formänderungsgesetz des isotropen, linear-elastischen Körpers?8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Werkstoffkonstanten E, G und v desisotropen, linear-elastischen Körpers?9. Welche Form nimmt das Hookesche Gesetz bei Aufspaltung in Volumen- und Gestaltänderungenan?

7-17 Statik des starren KörpersAufgabe 7-1Ein Gewicht G = {0; 0; -G} [N] hängt imPunkt A(1;1;-3) [m] an drei Seilen AB, ACund AD. Die Koordinaten der Befestigungspunkteder Seile sind:B ( 3 ; 2 ; 1) [m]C (-1; 3 ; 2) [m]D (-1 ; -3 ; 1) [m].Berechnen Sie die Seilkräfte.Aufgabe 7-2Am Knoten A des nebenstehend skizziertenSystems hängt eine Last G.Berechnen Sie sämtliche Stabkräfte, und unterscheidenSie dabei zwischen Zug- undDruckbelastung.Geg.: a, GAufgabe 7-3Bestimmen Sie für das skizzierte Kräftesystemdie Auflagerkräfte A, B und C.Geg.: a = 45 , b = 10 , g = 30

7-2 7 Statik des starren KörpersAufgabe 7-4Wie groß muß die Zugkraft Z sein, damit sichdas nebenstehende System im Gleichgewichtbefindet?Geg.: l = 3 m ; q = 20 kN/m, K 1 = 10 kN;K 2 = 60 kN , α = β = 30°.Aufgabe 7-5Ein starrer kreisförmiger Stab (Durchmesser10 m) stützt sich gemäß nebenstehender Skizzeauf die Stäbe A, B, C ab. Bestimmen Siesämtliche Stabkräfte infolge der gegeben BelastungK 1 , K 2 und K 3 .Geg.: K 1 = 100 kN, K 2 = 400 kNK 3 = 300 kN, r = 5.0 m, h = 2.0 m,α = 45° , β = 30° , γ = 45°Aufgabe 7-6Ermitteln Sie die Auflagerkräfte fürdas nebenstehend skizzierte System.

7-3Aufgabe 7-7Eine starre rechteckige Platte mit den Abmessungena und b wird in z-Richtung durcheine ebene Druckspannungsverteilungσ ( x,y)beansprucht. Bestimmen Sie diezzresultierende Druckkraft R nach Lage undRichtung.Geg.: a, b, σ , σ , σz1 z2 z3Aufgabe 7-8Bestimmen Sie für die skizzierten Systeme die Auflagerreaktionen, die Gelenkreaktionen unddie Schnittlasten mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen.Aufgabe 7-9Ermitteln Sie die resultierende Kraft R aller aufden nebenstehend abgebildeten Teil einer Zylinderflächewirkenden konstanten Druckkräftep. Der Druck p wirkt normal auf jedes Flächenelement.Zeigen Sie, daß die Rechnung bei der durch denDruck belasteten Projektionsfläche A A’ B B’der Zylinderfläche denselben Wert für die ResultierendeR liefert. Geg.: p, l , r, α.

7-4 7 Statik des starren KörpersAufgabe 7-10Die nebenstehend skizzierte starre Plattemit den Abmessungen a und b wird amPunkte P 1 (1,2,0) durch eine Kraft P undein Moment M belastet. Ermitteln Sie dieStabkräfte in den Pendelstäben so, daßGleichgewicht herrscht.Geg.: a = 2m, b = 3m, P = {2;3;-3} kNM = {-2;3;4} kNm.Aufgabe 7-11Bestimmen Sie den Winkel ϕ , den die Verbindungslinieder beiden Walzenmittelpunkteeinnimmt, wenn sich das System imGleichgewicht befindet. Die Reibungskräftein den Kontaktflächen sind dabei zu vernachlässigen.Geg.: α, β, G , G1 2Aufgabe 7-12Ein masseloser Stab der Länge l ist an einemEnde drehbar gelagert und trägt am anderen Endedas Gewicht G. Er wird mit Hilfe eines ebenfallsmasselosen Seiles, das durch das Gewicht Q übereine lose Rolle gespannt ist, aus der ursprünglichsenkrechten Lage ausgelängt. Bestimmen Sie fürdie sich einstellende Gleichgewichtslage den Winkelα und die Stabkraft. Geg.: Q = G/2, a = 3 l .

7-5Fragen1. Wie sind kinematische Bindungen und Reaktionen miteinander verknüpft?2. Welche notwendige Bedingung gilt für die Anzahl der kinematischen Bindungen, wenn derKörper unverschiebbar gelagert sein soll bei räumlichen bzw. ebenen Systemen?3. Wann ist eine Bindung bzw. eine Reaktion von den übrigen abhängig?4. Wann ist ein Auflagersystem vollständig? Wann ist es kinematisch und statisch bestimmt?5. Wie wirkt es sich (mathematisch betrachtet) aus, wenn ein Auflagersystem statisch unbestimmtist?6. Was ergibt sich (mathematisch betrachtet), wenn ein Auflagersystem kinematisch unbestimmtist?7. Wie ist der Freiheitsgrad eines Systems definiert?8. Welcher notwendigen Bedingung muß die Anzahl der Auflager- und Verbindungsreaktionengenügen, damit ein System von Körpern kinematisch bestimmt sein kann?9. Wann ist das System der Bindungen vollständig?10. Wann ist ein System von Körpern kinematisch und statisch bestimmt?11. Wie lauten die Bildungsgesetze für kinematisch und statisch bestimmte Systeme von Körpern?Welche Bedeutung haben sie?

Anhang TabellenFH Neubrandenburg

Tabelle 01VolumenmittelpunktErmittlung des VolumenmittelpunktesVolumen V i x Si y Si z Si x Si V i y Si V i z Si V i12∑xyzSSSn∑xSiVi=i=1n=Vn∑i=1ySiVi=i=1n=Vn∑∑∑i=1zSiVi=i=1n=V∑i=1iii{ } { }r = x , y , z = ; ; [ ]S S S SFH Neubrandenburg

Tabelle 02FlächenmittelpunktErmittlung des Flächenmittelpunktes einer ebenen FlächeLinie A i x Si y Si x Si A i y Si A i123∑xySS==n∑∑j = 1n∑j = 1nxSjj = 1ny∑j = 1ASjAAjAjjj==r{ x ,y } { ; ; }= [ ]S S S=FH Neubrandenburg

Tabelle 03LinienmittelpunktErmittlung des Linienmittelpunktes einer ebenen LinieLinie L i x Si y Si x Si L i y Si L i123∑xySS==n∑j=1∑nnj=1∑j=1nxy∑j=1SjLSjLLjLjjj==r{ x ,y } { ; ; }= [ ]S S S=FH Neubrandenburg

Tabelle 04Flächenträgheitsmomente, DeviationsmomentFlächenträgheitsmomente, DeviationsmomentIy y=nnn22∑[ zSiAi+ Iyy,i],I = ∑[ ySiAi+ Izz i] I = ∑[ ySizSiAi+ Iyz i]z z,,y z,i=1i=1i=1ProfilA i(LE) 2y S , i(LE)yA2S , i i yS , iAi(LE) 3(LE) 4I zz , i(LE) 412345∑I zz=ProfilA i(LE) 2z S , i(LE)zA2S , i i zS , iAi(LE) 3(LE) 4I yy,i(LE) 412345∑I yy=ProfilA i(LE) 2y S , i(LE)z S , i(LE)yS , izS , iAi(LE) 4I yz,i(LE) 412345∑I yz=LE: LängeneinheitenFH Neubrandenburg

Tabelle 05HauptachsentransformationHauptachsentransformation ebener FlächenKoordinaten des FlächenmittelpunktesySn∑y∑j=1n∑Sj jSjj=1j=1= ; zS=nnAAjz∑j=1AAjjTrägheitsmomente und Deviationsmoment bzgl. der Achsen durch den FlächenmittelpunkteS des Gesamtquerschnitts parallel zu x, y .I = I − A zyyy yI = I − A y2Szz z z SI = I − A y zyz y z S S2Richtung der Hauptträgheitsachsen2Iyztan 2ϕ0= tan(2ϕ0+ π ) = , → ϕ0Izz− Iyy=1arctan2I2Izzyz− IyyHauptträgheitsmomente11Iηη= ( Iyy+ Izz ) + ( Iyy− Izz)cos 2ϕ− Iyzsin 2ϕ2211Iζζ= ( Iyy+ Izz ) − ( Iyy− Izz)cos 2ϕ+ Iyzsin 2ϕ221!Iηζ= ( Iyy− Izz)sin 2ϕ0+ Iyzcos 2ϕ0= 020 00 0Hinweis: Die letzte Gleichung dient der KontrolleFH Neubrandenburg

TechnischeMechanik TI Einige gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik und ihre allgemeinen Lösungen Tabelle 011.y ′ + λy= a + bx + cx2−λxa b c b c c 2y = Ce + − + 2 + ( − 2 )x + xλ 2 3 λ 2λ λ λ λ2. y′+ λy= a cosωx+ bsin ωx−λx1y = Ce + [( λa− ωb) cosωx+ ( λb+ ωa)sin ωx]2 2λ + ω3. x xy′ −ω+ λy= aeω + be−λxa ωxb −ωxy = Ce + e + eλ + ω λ − ω4. x −λxy′ + λy= aeλ + be−λxa λxy = ( C+bx) e + e2λ5. 22 3y ′ + λ y = a + bx + cx + dxa c b d c 2 d 3y = C1cosλx+ C2sin λx+ − 2 + ( − 6 )x + x + x2 4 2 4 2 2λ λ λ λ λ λ6.y ′′ 2+ λ y = a cosωx+ b sin ωx1y = C 1cosλx+ C2sin λx+ ( a cos ωx+ b sin ωx)2 2λ − ω7. y ′ 2+ λ y = a cosλx+ bsin λxxy = C cos x C sin x ( b cos x a sin x )1 λ + 2 λ − λ − λ2λ8. 22 3y ′ − λ y = a + bx + cx + dxa c b d c 2 d 3y = C1coshλx+ C2sinh λx− − 2 − ( + 6 )x − x − x2 4 2 4 2 2λ λ λ λ λ λ9. y ′′ + ay′= b−axby = C1e+ x + C2a10. y ′′ 122 22 21 y3 =( x + C1 ) + ( y + C2) = a+ ′( )a11. 1 2y ′′ = 1 + y′⎛ x + C2⎞y = C1+ acosh⎜⎟a⎝ a ⎠12.2y ′′ + 2δy′+ ω y = a cos κx+ b sin κx2−δx12 22 2λ > 0 : y = e ( C1cos λx+ C2sin λx)+{[ ( ω − κ ) a − 2δκb]cos κx+ ( ω − κ ) b + 2δκasin κx2 2 22 2 2 2 2( λ = ω − δ )4δκ + ( ω − κ )2−δxλ = 0 : y = e ( C1x+ C2) + L2−δxλ < 0 : y = e ( C1cosh λx+ C2sinh λx) + L13. IVy + 44λy = aλx( ) −λx( ) ay = e C1cosλx+ C2sin λx+ e C3cos λx+ C4sin λx+4λ414. IV 4y −λ y = aay = C1cosλx+ C2sin λx+ C3cosh λx+ C4sinh λx−4λ[ ] }