Kapitel 2 Die Prädikatenlogik (erster Stufe)

2.0 VorbemerkungenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 3/81

VorbemerkungenWir erweitern hier die Aussagenlogik zur Prädikatenlogik, dieunserlaubenwird Aussagen über mathematische Strukturen zu formalisieren und denWahrheitswert dieser Aussagen zu analysieren.Um über Strukturen sprechen zu können, führen wir Individuenvariablen ein,die für die Grundobjekte (= Individuen) der Strukturen stehen.Weiter werden wir Funktionszeichen und Relationszeichen zur Bezeichnungvon ausgezeichneten Funktionen und Relationen der Struktur verwenden,sowie Konstanten zur Bezeichnung ausgezeichneter Individuen. DieseZeichen hängen von der zu beschreibenden Struktur - genauer von derenTyp - ab. In jedem Fall haben wir das Gleichheitszeichen zur Bezeichnungidentischer Individuen.Weiter benötigen wir die Möglichkeit der Quantifizierung. Hierbeiquantifizieren wir nur über die Grundobjekte (“Für alle Individuen gilt ...”bzw. “Es gibt ein Individuum, für das ... gilt”).Da man die Individuen einer Struktur auch die Objekte der Stufe 1, Mengenvon Individuen Objekte der Stufe 2 usw. nennt, sprechen wir hier auch vonder Prädikatenlogik 1. Stufe (PL1).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 4/81

Mathematische Strukturen: IdeeEine (mathematische) Struktur A besteht auseiner nichtleeren Menge A, demIndividuenbereich(oderTräger oderUniversum) der StrukturHierbei kann der Individuenbereich beliebige Kardinalität (= 0) haben, alsoendlich oder unendlich (und hier wiederum abzählbar oder überabzählbar)sein.ausgezeichneten Relationen und Funktionen auf dem Träger sowieausgezeichneten Elementen des Trägers, den Grundrelationen,Grundfunktionen und Konstanten von AHierbei ist die Anzahl der Grundrelationen und Grundfunktionen (sowiederen Dimension) und die Anzahl der Konstanten beliebig. Es können alsoz.B. gar keine Grundrelationen vorkommen oder unendlich viele.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 7/81

Mathematische Strukturen: Typ oder SignaturDie Anzahl der ausgezeichneten Relationen und Funktionen zusammen mit derenStelligkeiten sowie die Anzahl der Konstanten bestimmen den Typ einer Struktur:DEFINITION. Die Struktur A =(A;(RiATyp oder besitzt die Signatur|i ∈ I ); (fjA |j ∈ J); (ck A|k ∈ K)) ist vomσ(A) =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K),falls R A in i -stellig und f Ajm j -stellig ist.Besitzt eine Struktur keine ausgezeichneten Relationen (bzw. Funktionen), sospricht man auch von einer algebraischen oder funktionalen (bzw. relationalen)Struktur.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 9/81

Mathematische Strukturen: Beispiele (Forts.)Struktur der natürlichen Zahlen (Arithmetik): Versieht man die Menge dernatürlichen Zahlen N mit Addition und Multiplikation und deren neutralenElementen, so erhält man die (algebraische) Struktur N =(N;+, ·;0, 1)deren Typ σ(N )=(−;2, 2; {0, 1}) mitdemTypderKörper übereinstimmt.Erweitern kann man diese Struktur z.B. noch dadurch, dass man dieOrdnung ≤ auf N sowie die Nachfolgerfunktion S(x) =x +1alsGrundrelation bzw. -funktion hinzunimmt:N =(N; ≤;+, ·, S;0, 1) wobei σ(N ) = (2; 2, 2, 1; {0, 1}).Man könnte die Struktur der natürlichen Zahlen auch als reineOrdnungsstruktur betrachten:N =(N; ≤) wobei σ(N ) = (2; −; −).Die Wahl der Grundrelationen, Grundfunktionen und Konstanten hat(möglicherweise) Einfluss darauf, was in der zu einer Struktur gehörendenSprache über die Struktur ausgedrückt werden kann.Wir führen nun die zu einer Struktur passende Sprache ein, wobei diese nurvom Typ der Struktur abhängt.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 13 / 81

2.2 Prädikatenlogik: Grundzeichen der SprachenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 14 / 81

Die Grundzeichen der Sprache L(σ)Um über Strukturen eines gegebenen Typs σ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K)Aussagen machen zu können, führen wir nun die zugehörige Sprache L(σ) ein.Bei den Grundzeichen der Sprache L = L(σ) unterscheidetmanzwischenden logischen Zeichen (die nicht von σ abhängen) undden nichtlogischen Zeichen (die von σ abhängen). Die nichtlogischenZeichen sind hierbei gerade Namen für die Grundrelationen, Grundfunktionenund Konstanten.Die Menge aller Grundzeichen vom L bezeichnen wir als das Alphabet von L.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 15 / 81

Die Grundzeichen der Sprache L(σ): logische ZeichenLogische Zeichen von L(σ):Abzählbar unendlich viele Individuenvariablen (kurz: Variablen):v 0 , v 1 , v 2 ,...Wir bezeichnen Variablen im Folgenden mit x, y, z, x i ,... Die Junktoren ¬ und ∨.(Die übrigen üblichen Junktoren ∧, →, ↔ werden wir wiederum als“Abkürzungen” einführen.) Der Existenzquantor ∃.(Den Allquantor ∀ werden wir später ebenfalls als “Abkürzung”einführen.) Das Gleichheitszeichen =. Die Klammern ( und ) sowie das Komma ,.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 16 / 81

Die Grundzeichen der Sprache L(σ): nichtlogische Zeichenund TypNichtlogische Zeichen von L(σ): Für jedes i ∈ I das n i -stellige Relationszeichen R i . Für jedes j ∈ J das mj -stellige Funktionszeichen f j . Für jedes k ∈ K die Konstante ck .Wie bei den Strukturen nennen wir σ den Typ oder die Signatur der SpracheL(σ).Sind die Struktur A und die Sprache L vom selben Typ σ, soheißtL die Sprache von A (und wir schreiben auch L = L(A)) undA eine L-Struktur.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 17 / 81

Strukturen und deren zugehörige Sprachen: BeispieleFür die im letzten Beispiel eingeführten Strukturen können wir die zugehörigenSprachen (deren Signaturen gerade durch die Signaturen der Strukturen gegebensind) durch Angabe der nichtlogischen Zeichen angeben:Die Sprache der Graphen enthält ebenso wie die Sprache der Ordnungen alseinziges nichtlogisches Zeichen das 2-stellige Relationszeichen R 0 .Wirbenutzen statt R 0 allerdings in der Regel die suggestiveren Zeichen E (dasfür die Kantenrelation steht) bzw. ≤ (das für die Ordnungsrelation steht)und schreiben L(E) undL(≤).Die Sprache der Gruppen verfügt über ein 2-stelliges Funktionszeichen f 0und eine Konstante c 0 ,für die wir in der Regel aber + und 0 schreibenwerden: L(+; 0). Bei der Sprache der Körper kommen das 2-stelligeFunktionszeichen f 1 (·) und die Konstante c 1 (1) hinzu: L(+, ·;0, 1).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 18 / 81

Strukturen und deren zugehörige Sprachen: Beispiele(Fortsetzung)Die Sprache L der Struktur N =(N;+, ·;0, 1) der natürlichen Zahlenumfasst die 2-stelligen Funktionszeichen f 0 und f 1 und die Konstanten c 0und c 1 .Wirschreibenhierfür i.a. +, ·, 0 und 1: L = L(+, ·;0, 1).Man beachte, dass hierbei z.B. + zwei unterschiedliche Bedeutungen hat: inN ist + die Addition auf den natürlichen Zahlen; in L ist + dagegen einZeichen (genauer: die “Abkürzung” des 2-st. Funktionszeichens f 0 ).Wo diese Mehrdeutigkeit der Notation zu Missverständnissen führen kann,schreiben wir daher auch + N für die Addition auf N (und entsprechend ·N ,0 N ,etc.).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 19 / 81

2.3 Prädikatenlogik: TermeMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 20 / 81

Terme: VorbemerkungenTerme dienen dazu, Individuen und Funktionen auf demIndividuenbereich zu bezeichnen.Vorgehen:1 Induktive Festlegung der Gestalt der Terme (Syntax)2 Zuordnung der dargestellten Individuen und Funktionen(Semantik)Es ist im Folgenden L wiederum die Sprache L = L(σ) der Signaturσ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 21 / 81

2.3.1 Terme: SyntaxMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 22 / 81

Induktive Definition der L(σ)-Terme (Syntax)DEFINITION. Sei L = L(σ) mitσ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K). Die Menge der(L-)Terme ist induktiv definiert durch:(T1) Jede Variable v n (n ≥ 0) und jede Konstante c k (k ∈ K) isteinTerm.(T2) Sind t 1 ,...,t mjTerme, so ist auch f j (t 1 ,...,t mj )einTerm(j ∈ J).NOTATION:Terme bezeichnen wir mit s, t, s i , t i ,etc.Die Terme gemäß (T1) sind die Grundterme oder atomaren Terme.V (t) bezeichnet die Menge der im Term t vorkommenden Variablen.Kommen in t keine Variablen vor (d.h. V (t) =∅), so ist t einkonstanter Term.Schreiben wir t(x 1 ,...,x n ) statt t, sobedeutetdies,dassV (t) ⊆{x 1 ,...,x n } gilt (d.h. es kommen höchstens die Variablenx 1 ,...,x n in t vor).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 23 / 81

Terme: BeispieleIn einer relationalen Sprache L sind die Variablen und Konstanten dieeinzigen Terme. Enthält eine Sprache L keine Konstanten, so besitzt sieauch keine konstanten Terme.In der Sprache der Graphen oder Ordnungen (die weder Funktionszeichennoch Konstanten besitzt) sind daher die Variablen die einzigen Terme.In der Sprache der Gruppen kann man z.B. folgenden Term bilden:t ≡ +(v 0 , +(v 3 , 0)) [≡ f 0 (v 0 , f 0 (v 3 , c 0 ))]wobei wir die suggestiven Abkürzungen + :≡ f 0 und 0 :≡ c 0 verwenden. ZurVerbesserung der Lesbarkeit benutzen wir auch die in der Algebra üblicheInfixschreibweise für +, wodurch der Term t die Gestalt v 0 +(v 3 + 0) erhält.Letzteres ist aber kein Term im formalen Sinn und wird von uns nur als(informelle) Abkürzung von t verwendet.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 24 / 81

Terme: Beispiele (Fortsetzung)Bei der Sprache der Struktur N =(N;+, ·;0, 1) der natürlichen Zahlenverwenden wir (wie bereits erwähnt) die Funktionszeichen + und · anstelleder Funktionszeichen f 0 und f 1 und die Konstanten 0 und 1 an Stelle von c 0und c 1 ,undwirbenutzenfür die Funktionszeichen + und · die Infixschreibweise.Wiederum sind die entsprechend gebildeten Terme als abkürzendeSchreibweise aufzufassen. So stehtfür den (abgekürzten) Term(1 + 0) · (1 · 1)·(+(1, 0), ·(1, 1))und dieser wiederum für den (eigentlichen) Termf 1 (f 0 (c 1 , c 0 ), f 1 (c 1 , c 1 )).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 25 / 81

2.3.2 Terme: SemantikMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 26 / 81

Interpretation der L(σ)-TermeWir wollen nun die L-Terme in den L-Strukturen interpretieren. Hierzu sei imFolgenden A =(A;(RiA |i ∈ I ); (fjA |j ∈ J); (ck A |k ∈ K)) eine L-Struktur, d.h. eineStruktur vom Typ σ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K).IDEE:Konstante L-Terme werden in der L-Struktur A als Individuen interpretiert.Beliebige L-Terme werden in der L-Struktur A als Funktionen auf demIndividuenbereich interpretiert.Wir bestimmen zunächst die von konstanten Termen dargestellten Individuen,wobei wir induktiv nach dem Aufbau der Terme vorgehen (vgl. mit dersyntaktischen Induktion im Teil über die Aussagenlogik).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 27 / 81

Interpretation konstanter Terme: DefinitionKonstante L-Terme werden in der L-Struktur A als Individuen interpretiert.Hierzu ordnen wir jedem konstanten Term t durch Induktion nach dem Aufbauder Terme (kurz: Ind(t)) ein Individuum t A aus A zu:DEFINITION. Für einen konstanten L-Term t ist t A ∈ A wie folgt durch Ind(t)definiert:1 (c k ) A := c A k2 (f j (t 1 ,...,t mj )) A := f Aj (t A 1 ,...,tA m j)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 28 / 81

Interpretation konstanter Terme: Beispiele (1)Sei L die Sprache der Arithmetik. Der konstante Term t ≡·(+(1, 1), ·(1, 1))erhält in der Struktur N =(N;+, ·;0, 1) der natürlichen Zahlen den Wertt N = 2. Da das Zeichen 1 durch die Eins und die Funktionszeichen + und ·durch Addition und Multiplikation interpretiert werden, sieht man diesinduktiv wie folgt:1 N = 1+(1, 1) N = 2·(1, 1) N = 1t N = 2· 1=2Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 29 / 81

Interpretation konstanter Terme: Beispiele (2)Sei L weiterhin die Sprache der Arithmetik und N =(N;+, ·;0, 1).Definiert man induktiv die konstanten Terme n (n ≥ 0) durch0 :≡ 0 und n +1:≡ (n + 1),so gilt gerade n N = n. (Wirnennenn die Ziffer zur Bezeichnung der Zahln.) Es lässt sich also jede natürliche Zahl durch einen konstanten Term derSprache von N darstellen.Die Sprache einer Struktur erlaubt aber nicht immer, dass man alleIndividuen durch konstante Terme beschreiben kann: Ersetzen wir oben Ndurch den Körper R =(R;+, ·;0, 1) der reellen Zahlen, so lassen sich indiesem ebenfalls nur die natürlichen Zahlen durch konstante Termedarstellen. Erweitert man die Sprache um ein Zeichen − für die 2-stelligeDifferenz bzw. ein Zeichen : für die Division, so lassen sich inR =(R; −, +, ·;0, 1) bzw. R =(R; −, +, ·, :; 0, 1) gerade die ganzen bzw.rationalen Zahlen durch konstante Terme darstellen (wobei wir x :0=0setzen).Betrachten wir eine Struktur ohne Konstanten, so gibt es - wie bereits beobachtet - keine konstanten Terme in derzugehörigen Sprache. Hier lässt sich also sogar überhaupt kein Individuum durch einen konstanten Term darstellen.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 30 / 81

Interpretation beliebiger Terme: DefinitionWir betrachten nun die Interpretation beliebiger L-Terme t in der L-Struktur A.Einem Term t ≡ t(x) ≡ t(x 1 ,...,x n ), in dem höchstens die Variablen x 1 ,...,x nvorkommen, ordnen wir einen Wert aus A in Abhängigkeit von einer Belegung Bder Variablen x i durch Werte a i aus A zu:DEFINITION. Sei V = {x 1 ,...,x n } eine Menge von Variablen und A eineL-Struktur. Eine (Variablen-)Belegung B von V in A ist eine AbbildungB : V → A.DEFINITION. Sei t ≡ t(x) ≡ t(x 1 ,...,x n )einL-Term, in dem höchstens dieVariablen x 1 ,...,x n vorkommen, und sei B : {x 1 ,...,x n }→A eine Belegungdieser Variablen in der L-Struktur A. DerWert tBA ∈ A von t in A bzgl. derBelegung B ist durch Ind(t) wie folgt definiert:1 (x i ) A B := B(x i)und(c k ) A B := cA k2 (f j (t 1 ,...,t mj )) A B := f Aj ((t 1 ) A B ,...,(t m j) A B )Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 31 / 81

Interpretation beliebiger Terme: BemerkungenOrdnet die Belegung B von V = {x 1 ,...,x n } in A den Variablen x i dieIndividuen a i zu, so schreiben wir für t ≡ t(x 1 ,...,x n )statttBA aucht A B ≡ t A [B(x 1 ),...,B(x n )] ≡ t A [a 1 ,...,a n ].(Diese Schreibweise wird im Skript von Gloede verwendet!)Der Term t ≡ t(x) ≡ t(x 1 ,...,x n )kanninA also als n-stellige Funktioninterpretiert werden.f At(x) : An → A mit f At(x) (a) =tA [a]Dabei hängt der Wert von t A [a] höchstens dann von a i ab, wenn dieVariable x i tatsächlich in t vorkommt (Beweis durch Ind(t); Übung!):KOINZIDENZLEMMA (für Terme). Sei A eine L-Struktur, t ein L-Term,V = {x 1 ,...,x m } und V = {x 1 ,...,x n} Variablenmengen mitV (t) ⊆ V , V und B und B Belegungen von V bzw. V in A, sodassB V (t) =B V (t) gilt. Dann gilt t A B = tA B .Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 32 / 81

Interpretation beliebiger Terme: BeispielDer durcht :≡ f 0 (f 1 (x 1 , x 1 ), f 1 (f 0 (c 1 , c 1 ), x 2 )) ≡ +(·(x 1 , x 1 ), ·(+(1, 1), x 2 ))definierte Term t der Sprache von N lässt sich in Infixschreibweise auch alst ≡ (x 1 · x 1 ) + ((1 + 1) · x 2 )schreiben. Es gilt V (t) ={x 1 , x 2 }.Wirkönnen t also z.B. alst ≡ t(x 1 , x 2 , x 3 )schreiben.Für die Belegung B(x 1 )=0, B(x 2 )=1, B(x 3 ) = 2 gilt dannt N B= (B(x 1 ) · B(x 1 )) + ((1 + 1) · B(x 2 ))= (0· 0) + ((1 + 1) · 1) = 2Die Auswertung von t N [0, 1, 2] = tBN hängt also nicht von der BelegungB(x 3 )=2dernichtint vorkommenden Variablen x 3 ab.Die von t(x 1 , x 2 , x 3 ) dargestellte Funktion f Nt(x 1 ,x 2 ,x 3 ) : N3 → N ist:f Nt(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (a 1, a 2 , a 3 )=a 2 1 +2a 2 (a 1 , a 2 , a 3 ∈ N)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 33 / 81

Interpretation beliebiger Terme: Weitere BemerkungenFür einen konstanten Term t ist die Funktion ft(x A1 ,...,x n ) = f tA (nach demKoinzidenzlemma) konstant und es gilt ft A (a) =t A für alle a ∈ A n .In einer L-Struktur A lassen sich genau die Funktionen durch L-Termedarstellen, die über den Grundfunktionen und den Konstanten der Strukturexplizit definierbar sind.Für die Sprache L der Arithmetik N =(N;+, ·;0, 1) kann man so (durchAusmultiplizieren und mit Hilfe der Kommutativität von + und ·) zeigen,dass die durch Terme definierbaren Funktionen über N gerade die Polynome(mit Koeffizienten aus N) sind.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 34 / 81

2.4 Prädikatenlogik: Formeln und SätzeMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 35 / 81

Formeln und Sätze: Vorbemerkungen(L-)Sätze dienen dazu, Aussagen über (L-)Strukturen zu machen.Die von Formeln (auch Satzformen genannt) gemachten Aussagenhängen noch von der Interpretation der in ihnen vorkommenden freienVariablen ab, und können so auch als Relationen auf den Trägern von(L-)Strukturen interpretiert werden.Vorgehen:1 Induktive Festlegung der Gestalt der Formeln (Syntax)2 Interpretation der Formeln in zugehörigen Strukturen (Semantik)Es ist im Folgenden L wiederum die Sprache L = L(σ) der Signaturσ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 36 / 81

2.4.1 Formeln und Sätze: SyntaxMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 37 / 81

Induktive Definition der L(σ)-FormelnDEFINITION. Sei L = L(σ) mitσ =((n i |i ∈ I ); (m j |j ∈ J); K). Die Menge der(L-)Formeln ist induktiv definiert durch:(F1) (a) Sind t 1 , t 2 Terme, so ist t 1 = t 2 eine Formel.(b) Sind t 1 ,...,t ni Terme, so ist R i (t 1 ,...,t ni )eineFormel(i ∈ I ).(F2) Ist ϕ eine Formel, so ist auch ¬ϕ eine Formel.(F3) Sind ϕ 1 und ϕ 2 Formeln, so ist auch (ϕ 1 ∨ ϕ 2 )eineFormel.(F4) Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so ist auch ∃xϕ eine Formel.Die gemäß (F1) definierten Formeln heißen Primformeln oder atomare Formeln.Formeln vom Typ (F1)(a) nennt man auch Gleichheitsformeln. Formeln vom Typ(F2), (F3) und (F4) heißen Negationsformeln bzw. Disjunktionen bzw.Existenzformeln.Im Folgenden bezeichnen ϕ, ψ, γ, δ, ϕ i ,... (L-)Formeln.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 38 / 81

Verbesserung der Lesbarkeit von Formeln (“Abkürzungen”)Zur Verbesserung der Lesbarkeit der Formeln benutzen wir folgende Konventionenund “abkürzende” Schreibweisen:Die Junktoren ∧, → und ↔ führen wir wie in der AL ein.Zusätzlich führen wir den Allquantor ∀ durch ∀xϕ :≡ ¬∃x¬ϕ ein.Wir verwenden die schon im Teil über die Aussagenlogik eingeführten Regelnzur Klammerersparnis.Zusätzlich erlauben wir für ¬ϕ, ∃xϕ und ∀xϕ auch die Schreibweise ¬(ϕ)bzw. ∃x(ϕ) bzw.∀x(ϕ).Statt ¬t 1 = t 2 schreiben wir auch t 1 = t 2 .Wo üblich benutzen wir für Funktionszeichen (wie + und ·) undRelationszeichen (wie ≤) auchdieInfixschreibweise.NB: Die derart verallgemeinerten Formeln sind keine eigentlichen Formeln undsind daher bei formaler Sichtweise (z.B. in Beweisen durch Ind(ϕ)) immer durchdie entsprechenden eigentlichen Formeln zu ersetzen.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 39 / 81

Verbesserung der Lesbarkeit von Formeln: BeispieleNach den gerade eingeführten Konventionen sind die folgenden (uneigentlichen)Formeln alle identisch mit der (eigentlichen) Formelϕ ≡ (¬∃x¬ ≤(x, y) ∨¬y = x) :¬∃x¬(x ≤ y) ∨¬(y = x)∀x(x ≤ y) ∨¬(y = x)∀x(x ≤ y) ∨ y = xMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 40 / 81

Freie und gebundene Vorkommen von Variablen in FormelnEine in einer Formel ϕ vorkommende Variable x kann frei oder (durch einenExistenzquantor ∃) gebunden auftreten (wobei x in einer Formel ϕ an einer Stellefrei und an einer anderen Stelle gebunden auftreten kann). Dabei ist einVorkommen von x in einer Formel ϕ gebunden, wenn es in einer Teilformel ∃xψliegt (formale Definition: nächste Folie).Wir bezeichnen mit V (ϕ), FV (ϕ) und GV (ϕ) die Mengen der in ϕvorkommenden bzw. frei vorkommenden bzw. gebunden vorkommendenVariablen.Gilt FV (ϕ) ⊆{x 1 ,...,x n },soschreibenwirauchϕ(x 1 ,...,x n )stattϕ.DEFINITION. Kommt in einer (L-)Formel ϕ keine Variable frei vor (d.h. giltFV (ϕ) =∅), so ist ϕ ein (L-)Satz.Im Folgenden bezeichnen σ, τ, σ n etc. Sätze.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 41 / 81

Freie und gebundene Vorkommen von Variablen: DefinitionFormal definiert man das Vorkommen einer Variablen x und die freien undgebunden Vorkommen von x in einer Formel ϕ durch Ind(ϕ):1 Die Variable x kommt in der Primformel t 1 = t 2 bzw. R i (t 1 ,...,t ni )vor,falls x in einem der Terme t 1 , t 2 bzw. t 1 ,...,t ni vorkommt. Alle Vorkommenvon x sind frei.2 Die Variable x kommt in ¬ϕ vor, wenn sie in der Formel ϕ vorkommt. EinVorkommen von x in ¬ϕ ist frei (gebunden), wenn das entsprechendeVorkommen von x in ϕ frei (gebunden) ist.3 Die Variable x kommt in der Formel (ϕ 1 ∨ ϕ 2 )vor,wennsieinderFormelϕ 1 oder in der Formel ϕ 2 vorkommt. Ein Vorkommen von x in (ϕ 1 ∨ ϕ 2 )istfrei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommen von x in ϕ 1 bzw. ϕ 2frei (gebunden) ist.4 Die Variable x kommt in der Formel ∃yϕ vor, wenn x ≡ y oder x in derFormel ϕ vorkommt. Ist x ≡ y, so sind alle Vorkommen von x in ∃yϕgebunden. Sonst ist ein Vorkommen von x in ∃yϕ frei (gebunden), wenn dasentsprechende Vorkommen von x in ϕ frei (gebunden) ist.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 42 / 81

Freie und gebundene Vorkommen von Variablen: BeispieleIn der Formelϕ ≡ (¬∃x¬ ≤(x, y) ∨¬y = x)der Sprache der Ordnungen sind die ersten beiden Vorkommen der Variablenx gebunden, während das dritte Vorkommen frei ist. Weiter sind beideVorkommen von y frei.Es gilt also V (ϕ) =FV (ϕ) ={x, y} und GV (ϕ) ={x}.In der Formelψ ≡∃y∃x(¬∃x¬ ≤(x, y) ∨¬y = x)sind alle Vorkommen von x und y gebunden. ψ ist also ein Satz.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 43 / 81

2.4.2 Formeln und Sätze: SemantikMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 44 / 81

Semantik der L(σ)-Formeln: IdeeWir wollen nun zeigen, wie ein (L-)Satz σ als eine Aussage über die(L-)Struktur A interpretiert werden kann.Hierzu ordnen wir zunächst allgemeiner einer Formel ϕ, inderhöchstens dieVariablen x 1 ,...,x n frei vorkommen, und jeder Belegung B dieser Variablendurch Individuen a 1 ,...,a n von A einen Wahrheitswert WB A (ϕ) zu.Wir zeigen dann, dass dieser Wert höchstens dann von B(x i )=a i abhängt,wenn x i in ϕ frei vorkommt (Koinzidenzlemma für Formeln).Ist ϕ ein Satz, so hängt die Wahrheit von ϕ also nur von der Struktur A undnicht von der gewählten Variablenbelegung B ab.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 45 / 81

Interpretation einer L-Formel ϕ in einer L-Struktur ADEFINITION. Sei A eine L-Struktur, ϕ ≡ ϕ(x 1 ,...,x n )eineL-Formel mitFV (ϕ) ⊆{x 1 ,...,x n } und B eine Belegung von {x 1 ,...,x n } in A. DannistderWahrheitswertW A B (ϕ) ∈{0, 1} (= {FALSCH,WAHR})von ϕ in A bzgl. der Variablenbelegung B durch Ind(ϕ) wie folgt definiert:1 WB A(t 1 = t 2 ) = 1, g.d.w. (t 1 ) A B =(t 2) A B(für die Definition von tBA siehe Semantik der Terme).2 W A B (R i(t 1 ,...,t ni )) = 1, g.d.w. ((t 1 ) A B ,...,(t n i) A B ) ∈ RA i .3 W A B (¬ψ) = 1, g.d.w. W A B(ψ) = 0.4 W A B (ϕ 1 ∨ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1)=1oderW A B (ϕ 2)=1(oderbeides).5 W A B (∃yψ) = 1, g.d.w. es eine Belegung B von {x 1 ,...,x n , y} gibt, die mitB auf {x 1 ,...,x n }\{y} übereinstimmt und für die W A B (ψ) = 1 gilt.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 46 / 81

Interpretation uneigentlicher FormelnFür uneigentliche Formeln ϕ ≡ ϕ(x 1 ,...,x n ) und Belegungen B von {x 1 ,...,x n }in A ergeben sich hieraus folgende Wahrheitswerte (Beweis: Übung):W A B (ϕ 1 ∧ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1)=1undW A B (ϕ 2) = 1.W A B (ϕ 1 → ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1)=0oderW A B (ϕ 2)=1(oderbeides).W A B (ϕ 1 ↔ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1)=W A B (ϕ 2).W A B (∀yψ) = 1, g.d.w. für alle Belegungen B von {x 1 ,...,x n }∪{y}, diemit B auf {x 1 ,...,x n }\{y} übereinstimmen, W A B (ψ) = 1 gilt.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 47 / 81

Interpretation der L-Formeln: NotationOrdnet die Belegung B den Variablen x =(x 1 ,...,x n )dieIndividuena =(a 1 ,...,a n )zu,soschreibtmanstattWB A (ϕ) =1auchA ϕ[B(x 1 ),...,B(x n )] oder kurz A ϕ[a]und sagt: A macht die Formel ϕ ≡ ϕ(x 1 ,...,x n ) bzgl. der Belegung a wahr (oderϕ gilt in A bzgl. a).Entsprechend schreibt man auch A ϕ[a], fallsW A B(ϕ) = 0 gilt.(Diese Schreibweisen werden im Skript von Herrn Gloede verwendet! ImFolgenden werden wir beide Schreibweisen benutzen.)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 48 / 81

Das Koinzidenzlemma (für Formeln)Der Wahrheitswert WB A (ϕ) einerFormelϕ in einer Struktur A bzgl. einerVariablenbelegung B hängt nur von der Belegung der freien Variablen in ϕ ab:KOINZIDENZLEMMA (für Formeln). Sei A eine L-Struktur, ϕ eine L-Formel,V = {x 1 ,...,x m } und V = {x 1 ,...,x n} Variablenmengen mit FV (ϕ) ⊆ V , V und B und B Belegungen von V bzw. V in A, sodassDann gilt W A B (ϕ) =W A B (ϕ).B FV (ϕ) =B FV (ϕ).BEWEIS. Induktion nach dem Aufbau von ϕ (wobei man für Primformeln ϕnatürlich das Koinzidenzlemma für Terme verwendet). Übung!Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 49 / 81

Wahrheit und Modelle von SätzenNach dem Koinzidenzlemma hängt der Wahrheitswert eines Satzes σ in einerStruktur A nicht von der gewählten Variablenbelegung ab: Da σ keine freienVariablen enthält (d.h. FV (σ) =∅), gilt für alle Variablenbelegungen B und B beliebiger Variablenmengen V und V in A: W A B (σ) =W A B (σ)DEFINITION. Ein L-Satz σ ist in einer L-Struktur A wahr, wennWB A (σ) =1fürdie leere Variablenbelegung gilt (d.h. für die eindeutig bestimmte Belegung B derleeren Menge ∅).NOTATION. Ist ein Satz σ in der Struktur A wahr, so schreiben wirund sagen, dass A ein Modell von σ ist.A σMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 50 / 81

Wahrheit und Modelle von Formeln: IdeeIn der Mathematik ist es üblich, bei Aussagen mit freien Variablen anzunehmen,dass die freien Variablen implizit allquantifiziert sind. So wird z.B. die Aussage,dass jede von der Null verschiedene natürliche Zahl Nachfolger einer natürlichenZahl ist, durch die Formelausgedrückt, wobei diese alsx = 0→∃y (x = y + 1)∀x (x = 0→∃y (x = y + 1))gelesen wird. Diese Konvention führt zu folgender Erweiterung des WahrheitsundModellbegriffs für Sätze auf beliebige Formeln:Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 51 / 81

Wahrheit und Modelle von Formeln: DefinitionDEFINITION. Eine L-Formel ϕ ist in einer L-Struktur A wahr, wennWB Afür alle Variablenbelegungen von FV (ϕ) gilt.(ϕ) =1Ist eine Formel ϕ in der Struktur A wahr, so schreiben wir A ϕ und sagen, dassA ein Modell von ϕ ist.NB: Ist ϕ ein Satz, so stimmt diese Definition mit der zuvor für Sätze gegebeneDefinition der Wahrheit in einer Struktur überein.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 52 / 81

Wahrheit von Formeln vs. Wahrheit von Sätzen:AllabschlussDEFINITION. Der Allabschluss ∀ϕ einer Formel ϕ, inderdieVariablenx 1 ,...,x nfrei vorkommen, ist der Satz∀ϕ :≡ ∀x 1 ... ∀x n ϕ,wobei wir davon ausgehen, dass die Variable x 1 ,...,x n geordnet bzgl. derAufzählung aller Variablen sind.NB: Für einen Satz σ gilt ∀σ ≡ σ.SATZ ÜBER DEN ALLABSCHLUSS. A ϕ ⇔ A ∀ϕBEWEIS: Übung!Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 53 / 81

Wahrheit von Formeln vs. Wahrheit von Sätzen:BemerkungenMan beachte, dass nach Definition der Wahrheitswerte WB A (ϕ) unddemKoinzidenzlemma, für einen L-Satz σ und eine L-Struktur A entweder A σoder A ¬σ gilt.Für eine Formel ϕ mit freien Variablen, können wir dagegen i.a. nur feststellen,dass nicht gleichzeitig A ϕ und A ¬ϕ gelten kann. Hier ist jedoch möglich,dass weder A ϕ noch A ¬ϕ gilt.Der Grund hierfür ist, dass ¬ϕ nicht als Negation von ϕ interpretiert wird,sondern ϕ als ∀ϕ und ¬ϕ als ∀¬ϕ. Hierbeiist∀¬ϕ nicht zur Negation von ∀ϕ(nämlich ¬∀ϕ) äquivalent.Zum Beispiel gilt für die Formel ϕ ≡ x = y:A ¬(x = y) für alle Strukturen AA x = y für alle Strukturen A, derenTräger zumindest 2 Elemente enthältFür A mit |A| ≥2 gilt also weder A ϕ noch A ¬ϕ.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 54 / 81

Durch Formeln dargestellte RelationenWir beenden die Diskussion des Interpretationsbegriffs in der Prädikatenlogik mitder Beobachtung, dass L-Formeln Relationen auf den L-Strukturen A definieren:DEFINITION. Sei ϕ ≡ ϕ(x 1 ,...,x n )eineL-Formel mit FV (ϕ) ⊆{x 1 ,...,x n }.Die von ϕ auf der L-Struktur A definierte n-stellige Relation RϕA ist durchbestimmt.(a 1 ,...,a n ) ∈ R A ϕ ⇔A ϕ[a 1 ,...,a n ]BEISPIEL. In der Sprache von N =(N;+, ·;0, 1) wird die Menge der geradenZahlen durch die Formelϕ(x) ≡∃y(x = (1 + 1) · y)und die Teilbarkeitsrelation (x teilt y) durchdieFormeldefiniert.ψ(x, y) ≡ x = 0∧∃z(x · z = y)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 55 / 81

2.5 Prädikatenlogik: Zentrale semantische Konzepte2.5.1 Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und Folgerungbegriff:Definition und Eigenschaften2.5.2 Beispiele: Aussagenlogik vs. Prädikatenlogik2.5.3 Beispiele: Gleichheitsformeln2.5.4 Beispiele: Existenzformeln und deren InstanzenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 56 / 81

2.5.1 Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit undFolgerungbegriff: Definition und EigenschaftenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 57 / 81

Zentrale semantische Konzepte: VorbemerkungenNachdem wir die Syntax und Semantik der Sprachen der Prädikatenlogikeingeführt haben, können wir nun die zentralen (semantischen) Begriffe derPrädikatenlogik (Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit, Folgerung, Äquivalenz)vorstellen.Diese zentralen Begriffe werden entsprechend wie in der Aussagenlogik definiert,wobei wir aber statt von der Wahrheit einer (al.) Formel bzgl. einer Belegung derAussagenvariablen nun von der Wahrheit einer (pl.) Formel in einer Strukturausgehen.(Wir halten hierbei immer noch eine SpracheL = L((R i |i ∈ I ), (f j |j ∈ J), (c k |k ∈ K))vom Typσ(L) =((n i |i ∈ I ), (m j |j ∈ J), K)der Prädikatenlogik fest, und meinen im Folgenden mit einer Struktur A immereine L-Struktur.)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 58 / 81

Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit: DefinitionDEFINITION. Eine Formel ϕ ist (logisch) wahr oder allgemeingültig, wennalleL-Strukturen Modell von ϕ sind, d.h. wenngilt.Für alle L-Strukturen A: A ϕDEFINITION. (a) Eine Formel ϕ ist erfüllbar, wennϕ ein Modell besitzt, d.h.wennEs gibt eine L-Struktur A mit A ϕgilt. Andernfalls ist ϕ unerfüllbar.(b) Eine Menge Φ von L-Formeln ist erfüllbar, wenneseineL-Struktur A gibt,die Modell aller Formeln in Φ ist.Ist eine L-Struktur A Modell aller Formeln in einer Formelmenge Φ, so nennenwir A ein Modell von Φ und schreiben A Φ.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 59 / 81

Allgemeingültigkeit vs. ErfüllbarkeitÄhnlich wie in der Aussagenlogik beobachtet man die folgenden Zusammenhängezwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit:Jede allgemeingültige Formel ist erfüllbar.Die Umkehrung hiervon gilt i.a. nicht. So ist z.B. die L-Formel ϕ ≡ x = yerfüllbar, da sie in allen L-Strukturen A mit |A| = 1 gilt. Sie ist jedoch nichtallgemeingültig, da sie in L-Strukturen A mit |A| > 1 nicht gilt.Ein L-Satz σ (¬σ) ist genau dann allgemeingültig, wenn ¬σ (σ) unerfüllbarist.BEWEIS. Dies folgt aus der Tatsache, dass in jeder L-Struktur A entwederder Satz σ oder der Satz ¬σ gilt.Für beliebige Formeln ϕ folgt zwar aus der Allgemeingültig von ϕ auch dieUnerfüllbarkeit von ¬ϕ. Die Umkehrung gilt aber i.a. nicht. So ist für dieFormel ϕ ≡ x = y die Negation ¬ϕ ≡ x = y nicht erfüllbar, ϕ aber nichtallgemeingültig (s.o.).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 60 / 81

Erfüllbarkeit von Formeln vs. Erfüllbarkeit vonFormelmengenDie leere Formelmenge ist erfüllbar.Ist eine nichtleere Formelmenge Φ erfüllbar, so sind alle Formeln in Φerfüllbar, daA Φ ⇒ ∀ ϕ ∈ Φ: A ϕDie Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht. So sind die Formelnϕ 1 ≡∀x ∀y (x = y) undϕ 2 ≡∃x ∃y (x = y)beide erfüllbar. Die Modelle von ϕ 1 und ϕ 2 sind aber gerade die Strukturenmit einem Individuum bzw. mit mindestens zwei Individuen, sodass ϕ 1 undϕ 2 kein gemeinsames Modell besitzen. Die Formelmenge Φ = {ϕ 1 ,ϕ 2 } istalso unerfüllbar.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 61 / 81

Folgerung und Äquivalenz: DefinitionDEFINITION. Eine (L-)Formel ϕ folgt aus einer (L-)Formel ψ (ψ ϕ), wennjedes Modell von ψ auch ein Modell von ϕ ist, d.h. wennFür alle L-Strukturen A: A ψ ⇒ A ϕgilt.ϕ und ψ sind äquivalent (ϕ äq ψ), falls ϕ aus ψ und ψ aus ϕ folgt (also ϕ und ψdieselben Modelle besitzen).Der Folgerungsbegriff lässt sich auf Formelmengen erweitern:DEFINITION. Eine (L-)Formel ϕ folgt aus einer Menge Φ von (L-)Formeln(Φ ϕ), wenn jedes Modell von Φ auch ein Modell von ϕ ist, d.h. wenngilt.Für alle L-Strukturen A: A Φ ⇒ A ϕMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 62 / 81

Folgerungsbegriff: Bemerkungen und Beobachtungen (1)NOTATION:Für nichtleeres endliches Φ = {ϕ 1 ,...,ϕ n } schreiben wir statt Φ ϕ auchϕ 1 ,...,ϕ n ϕ.Entsprechend schreiben wir statt ∅ ϕ auch kurz ϕ.NB: Dies ist konsistent mit der zuvor eingeführten Schreibweise ϕ fürallgemeingültiges ϕ: jedeL-Struktur A ist ein Modell der leerenFormelmenge, weshalb ϕ genau dann aus der leeren Formelmenge folgt,wenn ϕ allgemeingültig ist.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 63 / 81

Folgerungsbegriff: Bemerkungen und Beobachtungen (2)EINFACHE FAKTEN:MONOTONIE DES FOLGERUNGSBEGRIFFS:Φ ⊆ Ψ&Φ ϕ ⇒ Ψ ϕVERTRÄGLICHKEIT VON UND →:ϕ 1 ,...,ϕ n σ ⇔ ϕ 1 ∧···∧ϕ n σ⇔ (ϕ 1 ∧···∧ϕ n ) → σMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 64 / 81

Zusammenhang zw. Folgerungsbegriff und ErfüllbarkeitRückführung der Erfüllbarkeit auf den Folgerungsbegriff:LEMMA. Eine L-Formelmenge Φ is genau dann erfüllbar, wenn es keinen L-Satzσ mit Φ σ und Φ ¬σ gibt.Rückführung des Folgerungsbegriffs auf die Erfüllbarkeit:LEMMA (Zusammenhang zwischen Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff).Für jede L-Formelmenge Φ und jeden L-Satz σ gilt:BEWEIS.Φ σ ⇔ Φ ∪ {¬σ} unerfüllbarΦ σ ⇔ ∀ A : A Φ ⇒A σ (nach Definition)⇔ ∀ A : A Φ ⇒A ¬σ (da entweder A σ oder A ¬σ )⇔ ∃ A : A Φ&A ¬σ⇔ Φ ∪ {¬σ} unerfüllbar (nach Definition)Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 65 / 81

Allgemeingültigkeit und Folgerungsbegriff: BeispieleIn den folgenden Unterabschnitten betrachten wir noch Beispiele fürallgemeingültige Formeln (und korrekte Folgerungen):2.5.2 Junktoren: aussagenlogische Gültigkeit vs. prädikatenlogische Gültigkeit2.5.3 Gleichheitszeichen: allgemeingültige Aussagen über die Gleichheit(Gleichheitsformeln)2.5.4 Existenzquantor: allgemeingültige Aussagen über Existenzformeln undderen InstanzenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 66 / 81

2.5.2 Beispiele: Aussagenlogik vs. PrädikatenlogikMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 67 / 81

Aussagenlogische Gültigkeit: Aussagenlogische BelegungenEine Formel ϕ ist elementar, fallsϕ atomar oder eine Existenzformelϕ ≡∃xψ ist.Elementare Formeln lassen sich aussagenlogisch nicht weiter zerlegen,spielen daher in PL die Rolle der Aussagenvariablen in AL.Eine aussagenlogische Belegung B von L ist eine AbbildungB : {ϕ : ϕ elementar} →{0, 1}.Eine al. Belegung B lässt sich induktive wie folgt auf alle Formeln fortsetzen:B(¬ϕ) :=1− B(ϕ)B(ϕ 1 ∨ ϕ 2 ):=max(B(ϕ 1 ), B(ϕ 2 ))Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 68 / 81

Aussagenlogische Gültigkeit: TautologienDEFINITION. Eine Formel ϕ ist eine Tautologie (oder aussagenlogisch gültig, AL ϕ), falls B(ϕ) =1für alle al. Belegungen B gilt.Intuitiv: Eine prädikatenlogische Formel ϕ ist aussagenlogisch gültig, wenn dieaussagenlogische Formel ϕ AL ,diemanausϕ erhält indem man alle elementareFormeln durch Aussagenvariablen ersetzt, allgemeingülting (in AL) ist.)TAUTOLGIELEMMA. Jede Tautologie ist allgemeingültig: AL ϕ ⇒ ϕDie Umkehrung des Tautologielemmas gilt i.a. nicht. So ist z.B. die elementareFormel ∃ x (x = x) allgemeingültig, wogegen keine elementare Formelaussagenlogisch gültig ist.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 69 / 81

Beweis des Tautologielemmas: elementare TeilformelnZum Beweis des Tautologielemmas definieren wir zunächst die Menge ETF (ϕ)der elemetaren Teilformeln einer Formel ϕ durch Ind(ϕ):Ist ϕ elementar, so ist ETF (ϕ) ={ϕ}.Ist ϕ die Negationsformel ϕ ≡¬ψ, soistETF (ϕ) =ETF (ψ).Ist ϕ die Disjunktionsformel ϕ ≡ ϕ 1 ∨ ϕ 2 ,soistETF (ϕ) =ETF (ϕ 1 ) ∪ ETF (ϕ 2 ).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 70 / 81

Beweis des Tautologielemmas: HilfssatzHILFSSATZ. Sei A eine L-Struktur und sei B : {v 1 , v 2 , v 3 ,...}→A eineBelegung aller Individuenvariablen in A. Dann gibt es eine aussagenlogischeBelegung B von L, für diefür alle L-Formeln ϕ gilt.(∗) W A B (ϕ) =B (ϕ)BEWEIS. Definiere B durch B (ψ) :=WB A (ψ) für jede elementare Formel ψ. DieBehauptung (∗) folgt dann einfach durch Ind(ϕ).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 71 / 81

Beweis des Tautologielemmas: Kern des BeweiseDer Beweis ist durch Kontraposition:Annahme: ϕ sei nicht allgemeingültig.Dann gibt es eine L-Struktur A und eine Belegung B : FV (ϕ) → A der in ϕvorkommenden freine Variablen in A, sodassWB A (ϕ) = 0.Setzt man B beliebig zu einer Belegung ˆB aller Variablen fort, so gilt nachdem Koinzidenzlemma weiterhin, dass WB A (ϕ) = 0.Nach dem Hilffsatz gibt es nun eine aussagenlogische Belegung ˆB von L,sodass ˆB (ϕ) =WB A (ϕ) = 0.Folglich ist ϕ keine Tautologie.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 72 / 81

Aussagenlogische FolgerungenDEFINITION. Eine Formel ϕ ist eine aussagenlogische Folgerung aus den Formelnϕ 1 ,...,ϕ n ( ϕ 1 ,...,ϕ n AL ϕ), falls für alle al. Belegungen B gilt:B(ϕ 1 )=···= B(ϕ n )=1 ⇒ B(ϕ) =1LEMMA ÜBER AL. FOLGERUNGEN: ϕ 1 ,...,ϕ n AL ϕ ⇒ ϕ 1 ,...,ϕ n ϕBEWEIS:ϕ 1 ,...,ϕ n AL ϕ ⇒ ϕ 1 ⇒ AL ϕ 1 ∧···∧ϕ n → ϕ⇒ ϕ 1 ∧···∧ϕ n → ϕ (Tautologielemma)⇒ϕ 1 ,...,ϕ n ϕMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 73 / 81

2.5.3 Beispiele: GleichheitsformelnMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 74 / 81

Allgemeingültige GleichheitsformelnLEMMA. Die folgenden Formeln sind allgemeingültig:1 γ 1 ≡ x = x2 γ 2 ≡ x = y → y = x3 γ 3 ≡ x = y ∧ y = z → x = z4 γ 4 ≡ x 1 = y 1 ∧ ... ∧ x mj = y mj → f j (x 1 ,...,x mj )=f j (y 1 ,...,y mj )5 γ 5 ≡ x 1 = y 1 ∧ ... ∧ x ni = y ni ∧ R i (x 1 ,...,x ni ) → R i (y 1 ,...,y ni )BEWEIS: Da die Beweis sehr ähnlich sind, zeigen wir hier nur dieAllgemeingültigkeit von γ 4 (andere Formeln: Übung).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 75 / 81

Allgemeingültigkeit von γ 4Die Allgemeingültigkeit vonγ 4 ≡ x 1 = y 1 ∧ ... ∧ x mj = y mj → f j (x 1 ,...,x mj )=f j (y 1 ,...,y mj )zeigt man wie folgt:Gegeben: L-Struktur A und Belegung B : {x 1 ,...,x mj , y 1 ,...,y mj }→A.Zu zeigen: W A B (γ 4) = 1.Gilt W A B (x 1 = y 1 ∧ ... ∧ x mj = y mj ) = 0, so ist die Behauptung trivial.Also o.B.d.A. W A B (x 1 = y 1 ∧ ... ∧ x mj = y mj )=1.Es folgt: W A B (x p = y p )=1für p =1,...m j .Also nach Definition von W A B :(x p) A B =(y p) A B für p =1,...m j.Mit der Definition von t A Bfolgt:f j (x 1 ,...,x mj ) A B= f A ((x 1 ) A B ,...,(x m j) A B )= f A ((y 1 ) A B ,...,(y m j) A B ) = f j(y 1 ,...,y mj ) A BMit der Definition von W A B folgt W A B (f j(x 1 ,...,x mj )=f j (y 1 ,...,y mj )) = 1und hieraus W A B (γ 4) = 1.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 76 / 81

2.5.4 Beispiele: Existenzformeln und deren InstanzenMathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 77 / 81

Existenzformeln und deren Instanzen: SubstitutionSUBSTITUTION: Ersetzen wir in einer Formel ϕ alle freien Vorkommen derVariablen x durch den Term t, so bezeichnen wir das Ergebnis dieser Substitutionmit ϕ[t/x].INSTANZEN EINER EXISTENZFORMEL: Unter den Instanzen einerExistenzformel ∃ϕ versteht man die Formeln ϕ[t/x], wobei t ein konstanter Termist.Anschaulich klar ist, dass die Wahrheit einer Instanz ϕ[t/x] ineinerStrukturA(bezüglich einer Belegung B) dieWahrheitderExistenzformel∃xϕ in A(bezüglich B) impliziert. (Die Umkehrung braucht im Allgemeinen nicht gelten,da möglicherweise nicht jedes Indviduum von A durch einen konstanten Termdargestellt werden kann.) Wir werden dies im folgenden formal beweisen, wobeiwir sogar beliebige Terme t zulassen, solange es nicht durch eine Bindung der in tvorkommenden Variablen zu einer Sinnentstellung kommen kann.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 78 / 81

Das SubstitutionslemmaSUBSTITUIERBARKEITSBEDINGUNG (SB): Ein Term t heisst in einer Formelϕ für die Variable x substituierbar, wennkeineint vorkommende Variable y = xin ϕ gebunden vorkommt.SUBSTITUTIONSLEMMA. Sei der Term t für die Variable x in der Formel ϕsubstituierbar. Dann ist ϕ[t/x] →∃xϕ allgemeingültig.BEMERKUNG. Die Substituierbarkeitsbedingung ist notwendig: Fürist die Formelt ≡ y und ϕ ≡∀y(x = y)ϕ[t/x] →∃xϕ ≡∀y(y = y) →∃x∀y(x = y)nicht allgemeingültig (sie gilt nämlich in keiner Struktur mit mehr als einemIndividuum).Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 79 / 81

Beweis des Substitutionslemmas: AufgabenstellungAnnahmen:Keine in t vorkommende Variable y = x kommt in ϕ gebunden vor (=SB).FV (ϕ) ∪ V (t) ⊆{x, x 1 ,...,x n } (wobei x, x 1 ,...,x n paarweise verschieden)A sei eine L-Struktur und B eine Belegung B : {x, x 1 ,...,x n }→AZu zeigen: (*) W A BVorüberlegungen:(ϕ[t/x] →∃xϕ) =1Da WB A (ϕ[t/x] →∃xϕ) = 1 genau dann gilt, wennWB A(ϕ[t/x]) ≤ W B A (∃xϕ) gilt, folgt die Behauptung (*) aus(ϕ[t/x]) = 0 trivialerweise.W A BGilt x ∈ FV (ϕ), so gilt ϕ[t/x] ≡ ϕ und es gilt WB A(ϕ) =W B Aauch WB A(ϕ[t/x]) = W B A (∃xϕ) und daher (*).(∃xϕ), alsoWir können also o.B.d.A. zusätzlich annehmen, dass WB A (ϕ[t/x]) = 1 undx ∈ FV (ϕ) gilt, und müssen dann WB A (∃xϕ) = 1 zeigen.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 80 / 81

Beweis des Substitutionslemmas: Aufgabenstellung neuAnnahmen (aktualisiert):Keine in t vorkommende Variable y = x kommt in ϕ gebunden vor (=SB).x ∈ FV (ϕ) &FV (ϕ) ∪ V (t) ⊆{x, x 1 ,...,x n } (wobei x, x 1 ,...,x n paarweiseverschieden)AL-Struktur und B Belegung B : {x, x 1 ,...,x n }→A mit W A B (ϕ[t/x]) = 1Zu zeigen (aktualisiert): (**) WB A (∃xϕ) =1Nach Definition des Wahrheitsbegriffs genügt es eine BelegungB : {x, x 1 ,...,x n }→A anzugeben mit B (x i )=B(x i ), für die(∗∗ ) WB A (ϕ) =1gilt.Definiere solch eine Belegung durch B (x) =t A B (und B (x i )=B(x i )).Zum Nachweis von (∗∗ ) genügt es wegen WB AAnnahme!) zu zeigen:W A B (ϕ) =W A B (ϕ[t/x])(ϕ[t/x]) = 1 (nachDies zeigt man aber leicht durch Ind(ϕ) (unter Verwendung von (SB)),nachdem man zuvor (für beliebige Terme ˆt) ˆtB A = ˆt[t/x] A Bdurch Ind(ˆt)gezeigt hat): Übung.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 2: Prädikatenlogik 1. Stufe 81 / 81