Technische Mechanik Kompakt
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3 Gleichgewicht starrer Körper<br />
Dieses Kapitel gibt eine Einführung in die Untersuchung des Gleichgewichts<br />
starrer Körper. Nach der Vorstellung von Newtons Axiomen werden die<br />
Gleichgewichtsbedingungen eingeführt. Anschließend wird das Schnittprinzip<br />
mit Lager- und Gelenkreaktionen dargelegt. Die statische Bestimmtheit wird<br />
abschließend untersucht.<br />
Bild 3.1<br />
Starre Körper im Gleichgewicht<br />
3.1 Newtons Axiome<br />
Die <strong>Mechanik</strong> baut auf drei Axiomen auf, die nach Vorarbeit von Galileo Galilei<br />
(1546 – 1642) zuerst von Isaac Newton (1643 – 1727) zusammenhängend<br />
angegeben und von Leonhard Euler (1707 – 1783) erweitert wurden.<br />
3.1.1 Gleichgewichtsaxiom<br />
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geraden Bewegung,<br />
solange er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand<br />
zu ändern.<br />
Dieser Zustand wird Gleichgewicht genannt. Gleichgewicht kann demzufolge nur<br />
dann vorliegen, wenn die Resultierende aller einwirkenden Kräfte und auch das<br />
resultierende Moment verschwindet:<br />
F R = 0 (3.1)<br />
M R = 0 (3.2)
34 3 Gleichgewicht starrer Körper<br />
Zwei Kräfte stehen also miteinander im Gleichgewicht, wenn sie den gleichen Betrag,<br />
aber entgegengesetzte Richtungen haben und auf derselben Wirkungslinie<br />
liegen, siehe Bild 3.2.<br />
−F F<br />
Bild 3.2<br />
Gleichgewichtsaxiom<br />
3.1.2 Dynamisches Grundgesetz<br />
Die auf einen starren Körper einwirkende resultierende Kraft F ist gleich dem<br />
Produkt aus Masse m und Beschleunigung aS des Schwerpunktes:<br />
F = m aS (3.3)<br />
Für die freie Bewegung im Erdschwerefeld folgt als erster Sonderfall das Fallgesetz<br />
von Galilei mit der Erdbeschleunigung g:<br />
G = m g (3.4)<br />
Als zweiter Sonderfall folgt das Gleichgewicht, wenn ein Körper keine Beschleunigung<br />
erfährt:<br />
aS = 0 ⇒ F = 0 (3.5)<br />
Gleichgewicht ist damit der Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen<br />
(und damit unbeschleunigten) Bewegung, der im Folgenden betrachtet wird. Die<br />
(beschleunigte) Bewegung des starren Körpers wird in Kapitel 20 behandelt.<br />
3.1.3 Reaktionsaxiom<br />
Zu einer Kraft ist stets eine gleichgroße entgegengesetzte Kraft auf derselben<br />
Wirkungslinie vorhanden. Wird beispielsweise von einem Körper (1) auf einen<br />
anderen Körper (2) an der Berührstelle B eine Kraft F 12 ausgeübt (actio),<br />
so bedingt dies, dass der zweite Körper auf den ersten Körper ebenfalls eine<br />
(Reaktions-)Kraft F 21 ausübt (reactio). Diese beiden Kräfte sind gleich groß,<br />
agieren auf derselben Wirkungslinie und sind entgegengesetzt gerichtet:<br />
F 12 = −F 21 (3.6)<br />
Kurz gesagt: actio = reactio .<br />
1<br />
B<br />
2<br />
1<br />
F 21 F 12<br />
2<br />
Bild 3.3<br />
Reaktionsaxiom
3.2 Gleichgewichtsbedingungen 35<br />
3.2 Gleichgewichtsbedingungen<br />
Gleichgewicht ist nur möglich, wenn sowohl die Resultierende der Kräfte F R<br />
(nach Gleichung 2.13) als auch die Resultierende der Momente M R (nach<br />
Gleichung 2.15) bezüglich eines beliebigen Punktes P verschwinden:<br />
F R = 0 , (3.7)<br />
M (P)<br />
R = 0 (3.8)<br />
Aus diesen Vektorgleichungen resultieren im allgemeinen räumlichen Fall sechs<br />
skalarwertige Gleichgewichtsbedingungen:<br />
P Fx = 0 ,<br />
P M (P)<br />
x<br />
= 0 ,<br />
P Fy = 0 ,<br />
P M (P)<br />
y<br />
= 0 ,<br />
P Fz = 0 , (3.9)<br />
P M (P)<br />
z = 0 (3.10)<br />
Für ebene Probleme reduzieren sich die Gleichgewichtsbedingungen auf drei<br />
skalare Gleichungen:<br />
P Fx = 0 ,<br />
P Fy = 0 ,<br />
P M (P)<br />
z = 0 . (3.11)<br />
Eine gebräuchliche Abkürzung für die Gleichgewichtsbedingungen, die auch im<br />
Folgenden verwendet wird, ist<br />
↑ für Summe aller Kräfte in Pfeilrichtung gleich null und<br />
<br />
A für Summe aller Momente in der durch den Pfeil gekennzeichneten Drehrichtung<br />
um den Bezugspunkt A gleich null.<br />
Beispiel 3.1 Seil<br />
Die Kräfte in einem Seils sind zu bestimmen.<br />
Lösung:<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
y<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
x<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
S1<br />
S2<br />
Ein Seil überträgt nur Zugkräfte in<br />
Längsrichtung. Aus dem Gleichgewicht<br />
in dieser Richtung folgt:<br />
↗ : S2 − S1 = 0<br />
⇒ S1 = S2 .<br />
Beispiel 3.2 Seilrolle<br />
Die folgende Abbildung zeigt eine (reibungsfrei) gelagerte Seilrolle. Gesucht<br />
sind die unbekannten Lagerkräfte AH und AV.
36 3 Gleichgewicht starrer Körper<br />
α1<br />
S1<br />
AH<br />
Lösung:<br />
Die drei Gleichgewichtsbedingungen für dieses ebene Problem lauten nach<br />
Gleichung 3.11<br />
r<br />
AV<br />
→ : −S1 cos α1 + S2 cos α2 + AH = 0 ,<br />
↑ : −S1 sin α1 − S2 sin α2 + AV = 0 ,<br />
<br />
A : S1 r − S2 r = 0 .<br />
Aus der Momentengleichung folgt direkt<br />
S1 = S2 = S ,<br />
und die Kräftegleichgewichtsbedingungen liefern die unbekannten Lagerkräfte<br />
AH = S (cos α1 − cos α2) ,<br />
AV = S (sin α1 + sin α2) .<br />
3.2.1 Zentrales Kräftesystem<br />
Ein zentrales Kräftesystem ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Wirkungslinien<br />
aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Bezüglich dieses Punktes ist dann<br />
offensichtlich die Summe der Momente null. Damit reduzieren sich die Gleichgewichtsbedingungen<br />
für zentrale Kräftesysteme auf die Kräftegleichgewichtsbedingungen<br />
(Gleichung 3.7). Alternativ können nach einer Zerlegung der Kräfte<br />
auch nur die Kraftkomponenten in jeweils einer Richtung (beispielsweise x-, yund<br />
z-Richtung) betrachtet werden, vgl. Gleichung 3.9.<br />
Beispiel 3.3 Zentrales Kräftesystem<br />
Überprüfen Sie grafisch und analytisch, ob die Kräfte F 1 bis F 4, die denselben<br />
Angriffspunkt haben, im Gleichgewicht sind.<br />
h iT h iT F 1 = 2 1.5 N, F 2 = 3 −1.5 N,<br />
h<br />
F 3 = 0 −1<br />
i T<br />
α2<br />
S2<br />
h<br />
N, F 4 = −5 1<br />
i T<br />
N
3.2 Gleichgewichtsbedingungen 37<br />
Grafische Lösung::<br />
Zunächst werden die Kräfte F 1 und F 2 sowie F 3 und F 4 nach dem Parallelogrammaxiom<br />
zu den Teilresultierenden F 12 bzw. F 34 zusammengefasst<br />
(vgl. Beispiel 2.2). Addiert man nun die beiden Teilresultierenden zusammen,<br />
so erhält man als endgültige Resultierende den Nullvektor. Die Kräfte<br />
F 1 bis F 4 sind somit im Gleichgewicht.<br />
y<br />
1 N<br />
x<br />
F 4<br />
F 3<br />
F 1<br />
F 2<br />
Rechnerische Lösung::<br />
Gleichung 2.5 liefert für die Resultierende den Nullvektor. Die Gleichgewichtsbedingung<br />
3.7 ist somit erfüllt.<br />
F R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4<br />
=<br />
"<br />
2 + 3 + 0 − 5<br />
1.5 − 1.5 − 1 + 1<br />
3.2.2 Allgemeines Kräftesystem<br />
#<br />
y<br />
1 N<br />
N =<br />
"<br />
F 34<br />
x<br />
0<br />
0<br />
#<br />
N <br />
Bei einem allgemeinen Kräftesystem schneiden sich die Wirkungslinien der<br />
Kräfte nicht in einem Punkt. Es ist daher im Gleichgewicht, wenn sowohl<br />
das Kräftegleichgewicht (Gleichung 3.7) als auch das Momentengleichgewicht<br />
(Gleichung 3.8) erfüllt sind.<br />
Beispiel 3.4 Allgemeines Kräftesystem<br />
Die Kräfte Ax, Ay und By sind so zu bestimmen, dass sich der Körper, der<br />
durch die Kräfte F1, F2 und F3 belastet ist, im Gleichgewicht befindet.<br />
F1<br />
y<br />
Ax<br />
x<br />
α<br />
F2<br />
Ay By<br />
a 3a 2a<br />
F3<br />
a<br />
a<br />
F1 = F<br />
F2 = √ 2 F<br />
F3 = 4 F<br />
α = 45 ◦<br />
F 12