Technische Mechanik Kompakt

3 Gleichgewicht starrer Körper
Dieses Kapitel gibt eine Einführung in die Untersuchung des Gleichgewichts
starrer Körper. Nach der Vorstellung von Newtons Axiomen werden die
Gleichgewichtsbedingungen eingeführt. Anschließend wird das Schnittprinzip
mit Lager- und Gelenkreaktionen dargelegt. Die statische Bestimmtheit wird
abschließend untersucht.
Bild 3.1
Starre Körper im Gleichgewicht
3.1 Newtons Axiome
Die Mechanik baut auf drei Axiomen auf, die nach Vorarbeit von Galileo Galilei
(1546 – 1642) zuerst von Isaac Newton (1643 – 1727) zusammenhängend
angegeben und von Leonhard Euler (1707 – 1783) erweitert wurden.
3.1.1 Gleichgewichtsaxiom
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geraden Bewegung,
solange er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand
zu ändern.
Dieser Zustand wird Gleichgewicht genannt. Gleichgewicht kann demzufolge nur
dann vorliegen, wenn die Resultierende aller einwirkenden Kräfte und auch das
resultierende Moment verschwindet:
F R = 0 (3.1)
M R = 0 (3.2)

34 3 Gleichgewicht starrer Körper
Zwei Kräfte stehen also miteinander im Gleichgewicht, wenn sie den gleichen Betrag,
aber entgegengesetzte Richtungen haben und auf derselben Wirkungslinie
liegen, siehe Bild 3.2.
−F F
Bild 3.2
Gleichgewichtsaxiom
3.1.2 Dynamisches Grundgesetz
Die auf einen starren Körper einwirkende resultierende Kraft F ist gleich dem
Produkt aus Masse m und Beschleunigung aS des Schwerpunktes:
F = m aS (3.3)
Für die freie Bewegung im Erdschwerefeld folgt als erster Sonderfall das Fallgesetz
von Galilei mit der Erdbeschleunigung g:
G = m g (3.4)
Als zweiter Sonderfall folgt das Gleichgewicht, wenn ein Körper keine Beschleunigung
erfährt:
aS = 0 ⇒ F = 0 (3.5)
Gleichgewicht ist damit der Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen
(und damit unbeschleunigten) Bewegung, der im Folgenden betrachtet wird. Die
(beschleunigte) Bewegung des starren Körpers wird in Kapitel 20 behandelt.
3.1.3 Reaktionsaxiom
Zu einer Kraft ist stets eine gleichgroße entgegengesetzte Kraft auf derselben
Wirkungslinie vorhanden. Wird beispielsweise von einem Körper (1) auf einen
anderen Körper (2) an der Berührstelle B eine Kraft F 12 ausgeübt (actio),
so bedingt dies, dass der zweite Körper auf den ersten Körper ebenfalls eine
(Reaktions-)Kraft F 21 ausübt (reactio). Diese beiden Kräfte sind gleich groß,
agieren auf derselben Wirkungslinie und sind entgegengesetzt gerichtet:
F 12 = −F 21 (3.6)
Kurz gesagt: actio = reactio .
1
B
2
1
F 21 F 12
2
Bild 3.3
Reaktionsaxiom

3.2 Gleichgewichtsbedingungen 35
3.2 Gleichgewichtsbedingungen
Gleichgewicht ist nur möglich, wenn sowohl die Resultierende der Kräfte F R
(nach Gleichung 2.13) als auch die Resultierende der Momente M R (nach
Gleichung 2.15) bezüglich eines beliebigen Punktes P verschwinden:
F R = 0 , (3.7)
M (P)
R = 0 (3.8)
Aus diesen Vektorgleichungen resultieren im allgemeinen räumlichen Fall sechs
skalarwertige Gleichgewichtsbedingungen:
P Fx = 0 ,
P M (P)
x
= 0 ,
P Fy = 0 ,
P M (P)
y
= 0 ,
P Fz = 0 , (3.9)
P M (P)
z = 0 (3.10)
Für ebene Probleme reduzieren sich die Gleichgewichtsbedingungen auf drei
skalare Gleichungen:
P Fx = 0 ,
P Fy = 0 ,
P M (P)
z = 0 . (3.11)
Eine gebräuchliche Abkürzung für die Gleichgewichtsbedingungen, die auch im
Folgenden verwendet wird, ist
↑ für Summe aller Kräfte in Pfeilrichtung gleich null und
A für Summe aller Momente in der durch den Pfeil gekennzeichneten Drehrichtung
um den Bezugspunkt A gleich null.
Beispiel 3.1 Seil
Die Kräfte in einem Seils sind zu bestimmen.
Lösung:
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
y
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
x
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
S1
S2
Ein Seil überträgt nur Zugkräfte in
Längsrichtung. Aus dem Gleichgewicht
in dieser Richtung folgt:
↗ : S2 − S1 = 0
⇒ S1 = S2 .
Beispiel 3.2 Seilrolle
Die folgende Abbildung zeigt eine (reibungsfrei) gelagerte Seilrolle. Gesucht
sind die unbekannten Lagerkräfte AH und AV.

36 3 Gleichgewicht starrer Körper
α1
S1
AH
Lösung:
Die drei Gleichgewichtsbedingungen für dieses ebene Problem lauten nach
Gleichung 3.11
r
AV
→ : −S1 cos α1 + S2 cos α2 + AH = 0 ,
↑ : −S1 sin α1 − S2 sin α2 + AV = 0 ,
A : S1 r − S2 r = 0 .
Aus der Momentengleichung folgt direkt
S1 = S2 = S ,
und die Kräftegleichgewichtsbedingungen liefern die unbekannten Lagerkräfte
AH = S (cos α1 − cos α2) ,
AV = S (sin α1 + sin α2) .
3.2.1 Zentrales Kräftesystem
Ein zentrales Kräftesystem ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Wirkungslinien
aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Bezüglich dieses Punktes ist dann
offensichtlich die Summe der Momente null. Damit reduzieren sich die Gleichgewichtsbedingungen
für zentrale Kräftesysteme auf die Kräftegleichgewichtsbedingungen
(Gleichung 3.7). Alternativ können nach einer Zerlegung der Kräfte
auch nur die Kraftkomponenten in jeweils einer Richtung (beispielsweise x-, yund
z-Richtung) betrachtet werden, vgl. Gleichung 3.9.
Beispiel 3.3 Zentrales Kräftesystem
Überprüfen Sie grafisch und analytisch, ob die Kräfte F 1 bis F 4, die denselben
Angriffspunkt haben, im Gleichgewicht sind.
h iT h iT F 1 = 2 1.5 N, F 2 = 3 −1.5 N,
h
F 3 = 0 −1
i T
α2
S2
h
N, F 4 = −5 1
i T
N

3.2 Gleichgewichtsbedingungen 37
Grafische Lösung::
Zunächst werden die Kräfte F 1 und F 2 sowie F 3 und F 4 nach dem Parallelogrammaxiom
zu den Teilresultierenden F 12 bzw. F 34 zusammengefasst
(vgl. Beispiel 2.2). Addiert man nun die beiden Teilresultierenden zusammen,
so erhält man als endgültige Resultierende den Nullvektor. Die Kräfte
F 1 bis F 4 sind somit im Gleichgewicht.
y
1 N
x
F 4
F 3
F 1
F 2
Rechnerische Lösung::
Gleichung 2.5 liefert für die Resultierende den Nullvektor. Die Gleichgewichtsbedingung
3.7 ist somit erfüllt.
F R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4
=
"
2 + 3 + 0 − 5
1.5 − 1.5 − 1 + 1
3.2.2 Allgemeines Kräftesystem
#
y
1 N
N =
"
F 34
x
0
0
#
N
Bei einem allgemeinen Kräftesystem schneiden sich die Wirkungslinien der
Kräfte nicht in einem Punkt. Es ist daher im Gleichgewicht, wenn sowohl
das Kräftegleichgewicht (Gleichung 3.7) als auch das Momentengleichgewicht
(Gleichung 3.8) erfüllt sind.
Beispiel 3.4 Allgemeines Kräftesystem
Die Kräfte Ax, Ay und By sind so zu bestimmen, dass sich der Körper, der
durch die Kräfte F1, F2 und F3 belastet ist, im Gleichgewicht befindet.
F1
y
Ax
x
α
F2
Ay By
a 3a 2a
F3
a
a
F1 = F
F2 = √ 2 F
F3 = 4 F
α = 45 ◦
F 12