Wurzelgleichungen Theorie • Eine Gleichung bei der die ... - gxy.ch

WurzelgleichungenTheorie• Eine Gleichung bei der die Gleichungsvariable unter (mindestens) einer Wurzel stehtheisst Wurzelgleichung.• Um die Wurzel einer Wurzelgleichung aufzulösen, muss die Gleichung quadriertwerden. Dabei enstehen oft Quadrate aus Summen mit zwei Summanden, die einerbesonders sorgfältigen Behandlung bedürfen.√Beispiel: x = x − 3 quadrieren( √ x) 2 = (x − 3) 2 rechts: binomische Formelx = x 2 − 6x + 9 usw.• Beim Quadrieren einer Gleichung können Scheinlösungen enstehen. Daher ist dieProbe aller Lösungen in der ursprünglichen Gleichung unbedingt nötig.Beispiel: √ x 2 − 3 = x − 3quadrierenx 2 − 3 = x 2 − 6x + 9 zusammenfassen6x = 12x = 2√22 − 3 = 2 − 3nach x auflösenLösungskandidatProbe in Originalgleichung1 = −1 Widerspruch: x = 2 ist eine Scheinlösung• Eine einzelne Wurzel sollte vor dem Quadrieren isoliert werden. Ansonsten tauchtdie Wurzel woanders wieder auf.Beispiel mit Isolation: √ x + 2 = x√ x = x − 2x = x 2 − 4x + 4Wurzel isolierenquadrierenusw.Beispiel ohne Isolation:√ x + 2 = xx + 4 √ x + 4 = x 2quadrieren (binomische Formel)Wurzel bleibt• Um alle Wurzeln wegzuschaffen, muss das Vorgehen zuerst Wurzel isolieren – dannquadrieren unter Umständen mehrfach geduldig angewendet werden.√ √Beispiel: x + 2 = 2x − 4 quadrieren (binomische Formel)x + 4 √ x + 4 = 2x − 4 zusammenfassen4 √ x = x nochmals quadrieren16x = x 2 alle Terme auf eine Seite bringen0 = x 2 − 16x faktorisieren (=ausklammern)0 = x(x − 16) Lösungen ablesenx 1 = 0 1. Lösungskandidatx 2 = 16 2. LösungskandidatProbe mit x = 0: √ 0 + 2 = √ 2 · 0 − 4 ⇒ 2 = √ −4 ⇒ WiderspruchProbe mit x = 16: √ 16 + 2 = √ 2 · 16 − 4 ⇒ 6 = √ 28 ⇒ Widerspruch⇒ L = { } (leere Lösungsmenge)

WurzelgleichungenÜbungsaufgaben1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung √ 2x 2 + 5x + 1 = √ x 2 − 2x − 92. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung √ 2x − 3 − 1 = x3. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung √ x + 1 = √ 2x − 7

WurzelgleichungenLösungen zu den Übungsaufgaben1.√2x2 + 5x + 1 = √ x 2 − 2x − 92x 2 + 5x + 1 = x 2 − 2x − 9x 2 + 7x + 10 = 0quadrierenzusammenfassenfaktorisieren oder TR(x + 5)(x + 2) = 0 Lösungen ablesenx 1 = −5x 2 = −21. Lösungskandidat2. LösungskandidatProbe in ursprünglicher Gleichung mit x = −5√2 · (−5)2 + 5 · (−5) + 1 = √ (−5) 2 − 2 · (−5) − 9 ⇒ √ 26 = √ 26Probe in ursprünglicher Gleichung mit x = −2√2 · (−2)2 + 5 · (−2) + 1 = √ (−2) 2 − 2 · (−2) − 9 ⇒ √ −1 = √ −1⇒ L = {−5}Widerspruch wegen negativen Radikanden2.√2x − 3 − 1 = x√2x − 3 = x + 1Wurzel isolierenquadrieren2x − 3 = x 2 + 2x + 1 zusammenfassenx 2 = 4x 1 = 2x 2 = −2Lösungen ablesen1. Lösungskandidat2. LösungskandidatProbe mit x = 2 in ursprünglicher Gleichung:√ 2 · 2 − 3 − 1 = 2 ⇒ 0 = 2 WiderspruchProbe mit x = −2 in ursprünglicher Gleichung:√2 · (−2) − 3 − 1 = −2 ⇒√ −7 − 1 = −2 Widerspruch⇒ L = { }√ √3. x + 1 = 2x − 7x + 2 √ x + 1 = 2x − 72 √ x = x − 8 quadrieren4x = x 2 − 16x + 64quadrieren (isolieren unmöglich)Wurzel isolieren und zusammenfassenzusammenfassen0 = x 2 − 20 + 64 faktorisieren oder TR0 = (x − 4)(x − 16) Lösungen ablesenx 1 = 4x 2 = 161. Lösungskandidat2. LösungskandidatProbe in ursprünglicher Gleichung mit x = 4√4 + 1 =√ 2 · 4 − 7 ⇒ 3 = 1 ⇒ WiderspruchProbe in ursprünglicher Gleichung mit x = 16√16 + 1 =√ 2 · 16 − 7 ⇒ 5 = 5⇒ L = {16}