Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSetzt man dagegen das Auswahlaxiom nicht voraus, so muß man unterscheidenzwischen Mächtigkeiten (allgemeiner Fall) und Kardinalzahlen (im Falle wohlgeordneterMengen, für die man dann die entsprechenden Anfangszahlen als Mächtigkeit= Kardinalzahl wählen kann). Da man ohnehin ohne Auswahlaxiom keinebefriedigende Theorie der Mächtigkeiten entwickeln kann, werden wir im folgendendas Auswahlaxiom voraussetzen und brauchen dann nicht zwischen Kardinalzahlenund Mächtigkeiten zu unterscheiden.Lemma(i) a ∼ b ↔ a = b,(ii) a ≼ b ↔ a ≤ b,(iii) a ≺ b ↔ a < b.DefinitionCard(a) :↔ ∃x(a = |x|)Cn := {x | Card(x)}KardinalzahlKlasse aller KardinalzahlenLemma(i) Card(α) ↔ ∀ξ < α (ξ ≁ α)↔ ∀ξ < α (ξ ≺ α) ↔ α = |α|,(ii) Card(α) ∧ α ≥ ω → Lim(α),(iii) a ⊆ Cn → ⋃ a ∈ Cn,(iv) ∀α ∃κ ∈ Cn α < κ,(v) Cn ist eine echte Klasse.Beweis: (i) drückt auf verschiedene Weise aus, daß Kardinalzahlen Anfangszahlensind. Für (ii) zeigt man, daß für unendliches α stets gilt: α + 1 ∼ α (nachderselben Methode wie ω + 1 = {0,1,...ω} ∼ {ω,0,1,...} ∼ ω). (iv) beweistman am einfachsten mit dem Satz von CANTOR: α ≺ P(α). Insbesondere gibt eskeine größte Kardinalzahl und die Klasse aller Kardinalzahlen kann keine Mengesein.□