Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
11.7. KARDINALZAHLEN 91• a = {x | x ∼ a} (FREGE-RUSSELL). Allerdings sind diese Äquivalenzklassendann stets echte Klassen (außer für a = /0).• a = {x | x ∼ a} min (SCOTT-TARSKI, s. 8.3) Mächtigkeiten sind nun stetsMengen, aber im konkreten Fall schwer zu bestimmen.• Wähle aus der Äquivalenzklasse {x | x ∼ a} einen geeigneten Repräsentantenals die Mächtigkeit von a aus:Im Falle einer endlichen Menge kann man ihre Mächtigkeit dadurch bestimmen,daß man sie abzählt: Ista ∼ {0,...,n − 1} = n,so ist n eindeutig durch a bestimmt und bezeichnet die Anzahl der Elemente vona. Ist jedoch a eine unendliche Menge, so können folgende Probleme auftauchen:1. a besitzt keine Wohlordnung und damit auch keine Aufzählung,2. a besitzt Aufzählungen verschiedener Länge.Das erste Problem läßt sich vermeiden, indem man das Auswahlaxiom voraussetzt:Dann läßt sich jede Menge wohlordnen:a = {α ξ | ξ < α} für ein α,aber das zweite Problem bleibt bestehen: Selbst bei injektiven Aufzählungen ist imFalle unendlicher Menge die ”Länge” α nie eindeutig bestimmt. Als Kardinalzahlvon a wählt man daher das kleinstmögliche 1 derartige α:|a| := a := µα(a ∼ α) Kardinalzahl von a.Die Kardinalzahl einer Menge a ist somit die kleinste Ordinalzahl unter allengleichmächtigen Mengen (man sagt dann auch, daß man die Kardinalzahlen mitden Anfangszahlen identifiziert).1 µα ϕ bezeichnet die kleinste Ordinalzahl α mit der Eigenschaft ϕ, falls eine solche existiert,die Zahl 0 sonst.
11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSetzt man dagegen das Auswahlaxiom nicht voraus, so muß man unterscheidenzwischen Mächtigkeiten (allgemeiner Fall) und Kardinalzahlen (im Falle wohlgeordneterMengen, für die man dann die entsprechenden Anfangszahlen als Mächtigkeit= Kardinalzahl wählen kann). Da man ohnehin ohne Auswahlaxiom keinebefriedigende Theorie der Mächtigkeiten entwickeln kann, werden wir im folgendendas Auswahlaxiom voraussetzen und brauchen dann nicht zwischen Kardinalzahlenund Mächtigkeiten zu unterscheiden.Lemma(i) a ∼ b ↔ a = b,(ii) a ≼ b ↔ a ≤ b,(iii) a ≺ b ↔ a < b.DefinitionCard(a) :↔ ∃x(a = |x|)Cn := {x | Card(x)}KardinalzahlKlasse aller KardinalzahlenLemma(i) Card(α) ↔ ∀ξ < α (ξ ≁ α)↔ ∀ξ < α (ξ ≺ α) ↔ α = |α|,(ii) Card(α) ∧ α ≥ ω → Lim(α),(iii) a ⊆ Cn → ⋃ a ∈ Cn,(iv) ∀α ∃κ ∈ Cn α < κ,(v) Cn ist eine echte Klasse.Beweis: (i) drückt auf verschiedene Weise aus, daß Kardinalzahlen Anfangszahlensind. Für (ii) zeigt man, daß für unendliches α stets gilt: α + 1 ∼ α (nachderselben Methode wie ω + 1 = {0,1,...ω} ∼ {ω,0,1,...} ∼ ω). (iv) beweistman am einfachsten mit dem Satz von CANTOR: α ≺ P(α). Insbesondere gibt eskeine größte Kardinalzahl und die Klasse aller Kardinalzahlen kann keine Mengesein.□
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 67 und 68: 8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 85 und 86: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 93 und 94: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 101 und 102: 11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131 und 132: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 133 und 134: 14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
- Seite 135 und 136: 14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
- Seite 137 und 138: 14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
- Seite 139 und 140: 132Kapitel 15Vollständige Reflexio
- Seite 141 und 142: 15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
- Seite 143 und 144: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Men
- Seite 145 und 146: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Ins
- Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
11.7. KARDINALZAHLEN 91• a = {x | x ∼ a} (FREGE-RUSSELL). Allerdings sind diese Äquivalenzklassendann stets echte Klassen (außer für a = /0).• a = {x | x ∼ a} min (SCOTT-TARSKI, s. 8.3) Mächtigkeiten sind nun stetsMengen, aber im konkreten Fall schwer zu bestimmen.• Wähle aus der Äquivalenzklasse {x | x ∼ a} einen geeigneten Repräsentantenals die Mächtigkeit von a aus:Im Falle einer endlichen Menge kann man ihre Mächtigkeit dadurch bestimmen,daß man sie abzählt: Ista ∼ {0,...,n − 1} = n,so ist n eindeutig durch a bestimmt und bezeichnet die Anzahl der Elemente vona. Ist jedoch a eine unendliche Menge, so können folgende Probleme auftauchen:1. a besitzt keine Wohlordnung und damit auch keine Aufzählung,2. a besitzt Aufzählungen verschiedener Länge.Das erste Problem läßt sich vermeiden, indem man das Auswahlaxiom voraussetzt:Dann läßt sich jede Menge wohlordnen:a = {α ξ | ξ < α} für ein α,aber das zweite Problem bleibt bestehen: Selbst bei injektiven Aufzählungen ist imFalle unendlicher Menge die ”Länge” α nie eindeutig bestimmt. Als Kardinalzahlvon a wählt man daher das kleinstmögliche 1 derartige α:|a| := a := µα(a ∼ α) Kardinalzahl von a.Die Kardinalzahl einer Menge a ist somit die kleinste Ordinalzahl unter allengleichmächtigen Mengen (man sagt dann auch, daß man die Kardinalzahlen mitden Anfangszahlen identifiziert).1 µα ϕ bezeichnet die kleinste Ordinalzahl α mit der Eigenschaft ϕ, falls eine solche existiert,die Zahl 0 sonst.
Change language