Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.4. VERGLEICHBARKEITSSATZ VON HARTOGS 89wie folgt:g(x) ={ ⋃f (x), falls x ∈ n∈ω f n [a − b]x sonst.Dabei ist f 0 (y) = y, f n+1 (y) = f ( f n (y)) (numerische Rekursion). Es gilt nun:(i) g ist surjektiv, d. h. W(g) = b:Sei d ∈ b. Falls d ∈ ⋃ n∈ω f n [a − b], so ist d ∈ f n [a − b] für ein n, und zwarn > 0 wegen d ∈ b. Dann ist aber d = f ( f n−1 (y)) für ein y und damit d ∈W(g). Im anderen Fall ist aber d = g(d) und damit auch d ∈ W(g).(ii) g ist injektiv:Da f injektiv ist, so auch g auf ⋃ n∈ω f n [a − b], und als identische Abbildungist sie auch auf dem Komplement injektiv. Ist jedoch einerseitsx ∈ ⋃ n∈ω f n [a − b] und andererseits y ∈ a − ⋃ n∈ω f n [a − b], so muß auchg(x) ≠ g(y) sein, da g(x) ∈ ⋃ n∈ω f n [a − b], während g(y) = y im Komplementliegt. Somit ist g eine Bijektion von a auf b.Der folgende Satz benötigt zum Beweis notwendig das Auswahlaxiom, da erhierzu äquivalent ist:□11.4 Vergleichbarkeitssatz von Hartogsa ≼ b ∨ b ≼ aBeweis: Nach dem Wohlordnungssatz gibt es Ordinalzahlen α,β mit a ∼ α undb ∼ β. Da Ordinalzahlen vergleichbar sind (und zwar α ⊆ β ∨ β ⊆ α), überträgtsich diese Beziehung in der Form a ≼ b ∨ b ≼ a auf die entsprechenden Mengen.□FolgerungJede unendliche Menge enthält eine abzählbar-unendliche Teilmenge (und ist damitD-unendlich).Daß es zu jeder Menge eine mit größerer Mächtigkeit gibt, zeigt der