Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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11.2. ÜBERABZÄHLBARE MENGEN 8711.2 Überabzählbare MengenWährend die Potenzmenge einer endlichen Menge auch wieder endlich ist, istdie Potenzmenge einer abzählbar-unendlichen Menge nicht mehr abzählbar, alsoüberabzählbar: WäreP(ω) = {a n | n ∈ ω},a := {m ∈ ω | m ∉ a m } = a nn ∈ a n ↔ n ∉ a nso wäre auchfür ein n,dann aberWiderspruch!Wir erhalten also einen Widerspruch wie im Falle der RUSSELLschen Antinomie!In ähnlicher Weise kann man zeigen, daß die Menge aller zahlentheoretischenFunktionen und auch die Menge aller reellen Zahlen R überabzählbar sind.Vergleich von MächtigkeitenObwohl wir die Mächtigkeit einer Menge noch nicht erklärt haben, konnten wirMengen als gleichmächtig definieren, wenn sie sich eineindeutig aufeinander abbildenlassen. Ebenso lassen sich Mengen hinsichtlich ihrer Größe vergleichen,ohne sie vorher aufzählen zu müssen:a ∼ b: ↔ ∃ f ( f : a ←→ b) a ist gleichmächtig mit ba ≼ b: ↔ ∃ f ( f : a ↣ b) a ist kleiner oder gleichmächtig mit b↔ ∃x ⊆ b (a ∼ x) (a ist schmächtiger als b)a ≺ b: ↔ a ≼ b ∧ a ≁ b a ist kleiner als b(Genauer sollte man für a ≼ b sagen: a ist von Mächtigkeit kleiner oder gleich b.)So ist z.B.n ≼ ω, n ≺ ω, ω ≼ ω + 1, ω + 1 ≼ ω, ω ≺ P(ω),aber: ω + 1 ⊀ ω, ω ⊀ ω + 1.
11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN 88Lemma(i) a ≼ a reflexiv(ii) a ≼ b ∧ b ≼ c → a ≼ c transitiv(iii) a ⊆ b → a ≼ b aber i. a. nicht umgekehrt!(iv) a ∼ c ∧ a ≼ b → c ≼ b ebenso für ≺(v) b ∼ d ∧ a ≼ b → a ≼ d ebenso für ≺Die Gleichmächtigkeit (Äquivalenz) von Mengen ist somit außer einer Äquivalenzrelationauch eine Kongruenzrelation bezüglich ≼ und ≺; die Relation ≼ist reflexiv und transitiv. Der folgende Satz besagt, daß ≼ antisymmetrisch ist (bisauf ∼), was trivial ist, wenn man das Auswahlaxiom benutzt. Als eines der wenigenErgebnisse der Theorie der Mächtigkeiten läßt er sich aber auch ohne dieseVoraussetzung beweisen:11.3 Satz von Cantor-Schröder-Bernsteina ≼ b ∧ b ≼ a → a ∼ bBeweis: Wir führen die Behauptung zunächst auf den einfacheren Fall(∗)a b ∧ b ⊆ a → a ∼ bzurück: Nach Voraussetzung existieren Abbildungeng : a ←→ a ′ ⊆ b,h : b ←→ b ′ ⊆ a,f := h ◦ g : a ↣ b ′a b ′ ∧ b ′ ⊆ a ∧ b ′ ∼ b.also mitgiltNach (*) gilt dann a ∼ b ′ , also auch a ∼ b, wie zu zeigen war.Zum Beweis von (*) gehen wir von einer injektiven Abbildungf : a ↣ b ⊆ aaus und konstruieren daraus eine Abbildungg : a ↔ b
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11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN 88Lemma(i) a ≼ a reflexiv(ii) a ≼ b ∧ b ≼ c → a ≼ c transitiv(iii) a ⊆ b → a ≼ b aber i. a. nicht umgekehrt!(iv) a ∼ c ∧ a ≼ b → c ≼ b ebenso für ≺(v) b ∼ d ∧ a ≼ b → a ≼ d ebenso für ≺Die Gleichmächtigkeit (Äquivalenz) von Mengen ist somit außer einer Äquivalenzrelationauch eine Kongruenzrelation bezüglich ≼ und ≺; die Relation ≼ist reflexiv und transitiv. Der folgende Satz besagt, daß ≼ antisymmetrisch ist (bisauf ∼), was trivial ist, wenn man das Auswahlaxiom benutzt. Als eines der wenigenErgebnisse der Theorie der Mächtigkeiten läßt er sich aber auch ohne dieseVoraussetzung beweisen:11.3 Satz von Cantor-Schröder-Bernsteina ≼ b ∧ b ≼ a → a ∼ bBeweis: Wir führen die Behauptung zunächst auf den einfacheren Fall(∗)a b ∧ b ⊆ a → a ∼ b<strong>zur</strong>ück: Nach Voraussetzung existieren Abbildungeng : a ←→ a ′ ⊆ b,h : b ←→ b ′ ⊆ a,f := h ◦ g : a ↣ b ′a b ′ ∧ b ′ ⊆ a ∧ b ′ ∼ b.also mitgiltNach (*) gilt dann a ∼ b ′ , also auch a ∼ b, wie zu zeigen war.Zum Beweis von (*) gehen wir von einer injektiven Abbildungf : a ↣ b ⊆ aaus und konstruieren daraus eine Abbildungg : a ↔ b
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