Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 85Eigenschaften endlicher Mengen(i) /0 und {a} sind endlich,(ii) sind a und b endlich, so auch a ∪ b,a ∩ b,a − b,a × b,P(a),F[a], a b,(iii) a endlich ∧ ∀x ∈ a (x endlich) → ⋃ a endlich,(iv) a endlich ∧ b ⊆ a → b endlich.(v) Induktionsprinzip für endliche Mengen:ϕ(/0) ∧ ∀x[x endlich ∧ ϕ(x) → ∀y(ϕ(x ∪ {y}))] → ∀x(x endlich → ϕ(x)).Diese Eigenschaften beweist man am einfachsten mit Hilfe des Endlichkeitsbegriffesvon WHITEHEAD-RUSSELL, zeigt dann, daß unter diesem Begriff allenatürlichen Zahlen endlich sind und somit beide Endlichkeitsdefinitionen zusammenfallen.□Wir wollen von den endlichen zu abzählbaren Mengen übergehen. Diese lassensich mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen:a abzählbar: ←→ a = /0 ∨ a = {a n |n < ω} für eine Folge (a n |n < ω).Damit sind dann auch die endlichen Mengen einbegriffen, da in der AbzählungElemente mehrfach aufgezählt werden können. Wir unterscheiden:1. f : ω ↠ a heißt Aufzählung von a (es ist dann a = { f (n)|n < ω}),2. f : ω ↔ a heißt Aufzählung von a ohne Wiederholungen.Eine Aufzählung ohne Wiederholungen (also eine bijektive Abbildung auf dienatürlichen Zahlen) liefert eine abzählbar-unendliche Menge:a abzählbar-unendlich: ←→ a ∼ ω.Für die Menge der endlichen Teilmengen von a bzw. die Menge der endlichenFolgen von Elementen von a benutzen wir folgende Bezeichnungen:P
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 86Eigenschaften abzählbarer Mengen(i) a abzählbar ←→ a endlich ∨ a abzählbar-unendlich←→ ∃α ≤ ω (a ∼ α),(ii) sind a und b abzählbar, so aucha ∪ b, a ∩ b, a − b, a × b, F[a], P
- Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
- Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 67 und 68: 8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 85 und 86: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97 und 98: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 99 und 100: 11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
- Seite 101 und 102: 11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131 und 132: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 133 und 134: 14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
- Seite 135 und 136: 14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
- Seite 137 und 138: 14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
- Seite 139 und 140: 132Kapitel 15Vollständige Reflexio
- Seite 141 und 142: 15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 86Eigenschaften abzählbarer Mengen(i) a abzählbar ←→ a endlich ∨ a abzählbar-unendlich←→ ∃α ≤ ω (a ∼ α),(ii) sind a und b abzählbar, so aucha ∪ b, a ∩ b, a − b, a × b, F[a], P
Change language