Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 85Eigenschaften endlicher Mengen(i) /0 und {a} sind endlich,(ii) sind a und b endlich, so auch a ∪ b,a ∩ b,a − b,a × b,P(a),F[a], a b,(iii) a endlich ∧ ∀x ∈ a (x endlich) → ⋃ a endlich,(iv) a endlich ∧ b ⊆ a → b endlich.(v) Induktionsprinzip für endliche Mengen:ϕ(/0) ∧ ∀x[x endlich ∧ ϕ(x) → ∀y(ϕ(x ∪ {y}))] → ∀x(x endlich → ϕ(x)).Diese Eigenschaften beweist man am einfachsten mit Hilfe des Endlichkeitsbegriffesvon WHITEHEAD-RUSSELL, zeigt dann, daß unter diesem Begriff allenatürlichen Zahlen endlich sind und somit beide Endlichkeitsdefinitionen zusammenfallen.□Wir wollen von den endlichen zu abzählbaren Mengen übergehen. Diese lassensich mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen:a abzählbar: ←→ a = /0 ∨ a = {a n |n < ω} für eine Folge (a n |n < ω).Damit sind dann auch die endlichen Mengen einbegriffen, da in der AbzählungElemente mehrfach aufgezählt werden können. Wir unterscheiden:1. f : ω ↠ a heißt Aufzählung von a (es ist dann a = { f (n)|n < ω}),2. f : ω ↔ a heißt Aufzählung von a ohne Wiederholungen.Eine Aufzählung ohne Wiederholungen (also eine bijektive Abbildung auf dienatürlichen Zahlen) liefert eine abzählbar-unendliche Menge:a abzählbar-unendlich: ←→ a ∼ ω.Für die Menge der endlichen Teilmengen von a bzw. die Menge der endlichenFolgen von Elementen von a benutzen wir folgende Bezeichnungen:P
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 86Eigenschaften abzählbarer Mengen(i) a abzählbar ←→ a endlich ∨ a abzählbar-unendlich←→ ∃α ≤ ω (a ∼ α),(ii) sind a und b abzählbar, so aucha ∪ b, a ∩ b, a − b, a × b, F[a], P
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