Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 842. Von WHITEHEAD-RUSSELL stammt die folgende Definition, die den Zahlbegriffvermeidet:Eine Menge u ⊆ P(a) heißt induktive Familie von Teilmengen von a gdw/0 ∈ u ∧ ∀x ∈ u ∀y ∈ a x ∪ {y} ∈ u,d. h. u enthält die leere Menge und mit jeder Menge x auch die um ein Elementaus a erweiterte Menge. Definiere:a endlich :↔ ∀u ⊆ P(a)(u induktive Familie von Teilmengen von a → a ∈ u).Dieser Begriff ist äquivalent zu obiger Definition.3. DEDEKIND wählt eine (anfangs als paradox angesehene) Eigenschaft zurCharakterisierung unendlicher Mengen:Satza D-unendlich :↔ ∃x ⊂ a(a ∼ x)(i) n ∼ m ∧ n,m ∈ ω → n = m, allgemeiner:α ∼ m ∧ m ∈ ω → α = m, (jedoch: ω ∼ ω + 1 ∼ ω + ω)(ii) α endlich ↔ α ∈ ω, insbesondere:∀n ∈ ω (n endlich) ∧ ω unendlich∀n ∈ ω ¬(n D-unendlich) ∧ ω D-unendlich(iii) a D-unendlich ↔ ∃x ⊆ a(x ∼ ω)(iv) a D-unendlich → a unendlich,a D-unendlich ↔ a unendlich (mit DC !)Beweis von (iii) (DEDEKIND 1888):Sei a D-unendlich, also f : a ←→ b ⊂ a für ein f und ein b. Wähle a 0 ∈a − b und setze a n+1 = f (a n ) (rekursive Definition!). Es ist also a 1 ≠ a 0 (wegena 1 ∈ b) und allgemeiner a n ≠ a m für n ≠ m. Somit ist {a n |n < ω} eine abzählbarunendlicheTeilmenge von a.Ist umgekehrt {a n |n < ω} eine abzählbar-unendliche Teilmenge von a, wobeia n ≠ a m für n ≠ m, so definieren wir eine Funktion g : a −→ a durchg(x) ={an+1 , falls x = a nx, sonstEs ist dann g : a ←→ a − {a 0 } ⊂ a.□