Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2VorbemerkungDie Mengenlehre hat für die Mathematik eine zweifache Bedeutung:1. Als Grundlagentheorie stellt sie sämtliche Objekte, die in den einzelnenmathematischen Disziplinen untersucht werden:Zahlen, Funktionen, Operatoren, Relationen, Punkte, Räume . . .unter dem einheitlichen Begriff der Menge dar.2. Außerdem ist sie selbst eine mathematische Theorie des Unendlichen (insbesondereder transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen).Beide Aspekte lassen sich nicht völlig voneinander trennen; insbesondere dasAuswahlaxiom (mit seinen vielen äquivalenten Fassungen) hat zahlreiche Anwendungenin fast allen mathematischen Gebieten, ist aber auch wichtig für die Entwicklungder Theorie der transfiniten Kardinalzahlen.Als Einleitung in die Mengenlehre wollen wir dem Weg GEORG CANTORszur Einführung der transfiniten Ordinalzahlen folgen und kurz in die Theorie derOrdnungen und Wohlordnungen einführen. Dabei gelangen wir über die frühestemengentheoretische Antinomie zu einer axiomatisch neubegründeten Mengenlehrenach ERNST ZERMELO und ABRAHAM A. FRAENKEL, wie sie heuteallgemein in Gebrauch als Grundlage für die Mathematik ist. Für den formalaxiomatischenAufbau der Mengenlehre benötigen wir den Formelbegriff aus derMathematischen Logik, die zwar mit der Mengenlehre als Grundlagentheorie engverknüpft ist, deren Kenntnis hier aber nicht vorausgesetzt wird. Allerdings werdenwir die üblichen logischen Symbole als Abkürzungen benutzen und mit ihrerintuitiven Bedeutung verwenden: