Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 81(ii) STONEscher Repräsentationssatz: Jede BOOLEsche Algebra ist isomorphzu einer Mengenalgebra.(iii) Satz von TYCHONOFF für T 2 -Räume(iv) Vollständigkeitssatz für formale Sprachen erster Stufe(v) Kompaktheitssatz für formale Sprachen erster StufeWeitere Abschwächungen des Auswahlaxioms sind:Ordnungserweiterungsprinzip (OE)Jede partielle Ordnung läßt sich zu einer linearen Ordnung erweitern.Ordnungsprinzip (OP)Jede Menge besitzt eine lineare Ordnung.Es gilt: AC ⇒ BPI ⇒ OE ⇒ OP (ohne Umkehrungen).Eine weitere interessante Folgerung aus dem Auswahlaxiom ist das Paradoxvon HAUSDORFF, BANACH und TARSKI:Wagon, S.: The Banach-Tarski paradox. Cambridge 1986French, R. M.: The Banach-Tarski theorem. Math. Intell. 10 (1988), 21-28Kirsch, A.: Das Paradox von Hausdorff, Banach und Tarski. Kann man es verstehen?Math. Semesterberichte 37,2 (1990), 216-239Viele weitere Ergebnisse und eine Übersicht findet man in dem bereits erwähntenBuchMoore, G. H.: Zermelo´s Axiom of Choice. Springer 1982.Schließlich seien noch erwähnt:Kanamori, A.: The mathematical import of Zermelo´s well-ordering theoremBull. Symb. Logic 3,3 (1997), 281-311Keremides, K.: Disasters in topology without the axiom of choiceArchiv Math. Logik 40,8 (2001), 569-580
82Teil IVDie Größe der Mengen
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