Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 77Bemerkungen1. A. Blass: Existence of bases implies AC, Contempory Math., Axiomatic SetTheory, AMS 31 (1983)) hat gezeigt, daß auch die Umkehrung gilt: Hatjeder Vektorraum eine Basis besitzt, so gilt das Auswahlaxiom.2. Die reellen Zahlen R kann man auch als (unendlich-dimensionalen) Vektorraumüber den rationalen Zahlen Q auffassen, eine Basis nennt manin diesem Fall eine HAMEL-Basis. Aus der Existenz einer HAMEL-Basisfolgt nun aber insbesondere die Existenz einer Funktion f : R −→ R mitf (x + y) = f (x) + f (y) für alle reellen x,y; f ist zwar Q-linear, aber nichtR-linear. Tatsächlich kann f unstetig sein, und es ist sogar möglich, daßW( f ) ⊆ Q!Der Satz von Hahn-Banach(s. Bücher über Funktionalanalysis)Nicht-meßbare MengenEs existiert eine Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. (VITALI1905)Beweis: Die Lebesgue-meßbaren Mengen bilden eine Teilmenge L ⊆ P(R), aufwelcher das Lebesgue-Maß definiert ist als Abbildungso daß gilt:m : L −→ {x | x ∈ R ∧ x ≥ 0} ∪ {∞},(L1) L enthält die offenen und abgeschlossenen Intervalle:(a,b),[a,b] ∈ L für alle reellen Zahlen a < b, und es ist m([a,b]) = b − a.(L2) L ist ein Mengenring, d. h. A,B ∈ L → A ∪ B, A ∩ B, A − B ∈ L.(L3) A ⊆ B → m(A) ≤ m(B).Monotonie(L4) Ist (A i |i < ω) eine abzählbare Folge von Mengen ∈ L, so ist auch⋃i
10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 78Auf [0,1] definieren wir eine Äquivalenzrelation durchx ∼ y :↔ x,y ∈ [0,1] ∧ x − y ∈ Q.Nach dem Auswahlaxiom in der Form (AC3´) existiert hierzu ein RepräsentantensystemS, d. h.S ⊆ [0,1] ∧ ∀x ∈ [0,1] ∃!y ∈ S (x ∼ y).Setzen wir S r := {x + r | x ∈ S} = S + r, so ist R = ⋃ r∈Q S r , und es istS r ∩ S t = /0 für r,t ∈ Q, r ≠ t.Wäre S Lebesgue-meßbar, also S ∈ L, so erhielte man im Falle m(S) = 0 :m(R) = 0, und im Falle m(S) > 0 : 2 = m([0,2]) = ∞, Widerspruch! Somit ist dieMenge S nicht Lebesgue-meßbar.□Äquivalenz verschiedener StetigkeitsdefinitionenFür x ∈ R und eine reelle Zahl ε > 0 wird die ε-Umgebung von x definiert durchU ε (x) := {y ∈ R | x − ε < y < x + ε}.1. Für A ⊆ R definiert man die abgeschlossene Hülle von A durchx ∈ A : ↔ ∀ε > 0 U ε (x) ∩ A ≠ /0 bzw.↔ x = lim n→∞ x n für eine Folge (x n ) n 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ R (|x − y| < δ → | f (x) − f (y)| < ε) bzw.↔ f (x) = lim n→∞ f (x n ) für alle Folgen (x n ) n
- Seite 33 und 34: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
- Seite 35 und 36: 4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
- Seite 37 und 38: 5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
- Seite 39 und 40: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
- Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 67 und 68: 8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 93 und 94: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97 und 98: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 99 und 100: 11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
- Seite 101 und 102: 11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131 und 132: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 133 und 134: 14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 77Bemerkungen1. A. Blass: Existence of bases implies AC, Contempory Math., Axiomatic SetTheory, AMS 31 (1983)) hat gezeigt, daß auch die Umkehrung gilt: Hatjeder Vektorraum eine Basis besitzt, so gilt das Auswahlaxiom.2. Die reellen Zahlen R kann man auch als (unendlich-dimensionalen) Vektorraumüber den rationalen Zahlen Q auffassen, eine Basis nennt manin diesem Fall eine HAMEL-Basis. Aus der Existenz einer HAMEL-Basisfolgt nun aber insbesondere die Existenz einer Funktion f : R −→ R mitf (x + y) = f (x) + f (y) für alle reellen x,y; f ist zwar Q-linear, aber nichtR-linear. Tatsächlich kann f unstetig sein, und es ist sogar möglich, daßW( f ) ⊆ Q!Der Satz von Hahn-Banach(s. Bücher über Funktionalanalysis)Nicht-meßbare MengenEs existiert eine Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. (VITALI1905)Beweis: Die Lebesgue-meßbaren Mengen bilden eine Teilmenge L ⊆ P(R), aufwelcher das Lebesgue-Maß definiert ist als Abbildungso daß gilt:m : L −→ {x | x ∈ R ∧ x ≥ 0} ∪ {∞},(L1) L enthält die offenen und abgeschlossenen Intervalle:(a,b),[a,b] ∈ L für alle reellen Zahlen a < b, und es ist m([a,b]) = b − a.(L2) L ist ein Mengenring, d. h. A,B ∈ L → A ∪ B, A ∩ B, A − B ∈ L.(L3) A ⊆ B → m(A) ≤ m(B).Monotonie(L4) Ist (A i |i < ω) eine abzählbare Folge von Mengen ∈ L, so ist auch⋃i
Change language