Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 76Auswahlaxiom für abzählbare Mengen: (AC ω )∀n ∈ ω a n ≠ /0 → ∃ f (D( f ) = ω ∧ ∀n ∈ ω f (n) ∈ a n ),Axiom der abhängigen Auswahl: (DC, dependent choice)Rel(R) ∧ a 0 ∈ a ∧ ∀x ∈ a∃y ∈ a xRy→ ∃ f [ f : ω −→ a ∧ f (0) = a 0 ∧ ∀n < ω f (n)R f (n + 1)]Es gilt: AC → DC,DC → AC ω (aber die Umkehrungen sind nicht beweisbar).Das AC ω wird vielfach in der Analysis benutzt (s.u.), insbesondere auch fürdie Aussage, daß die Vereinigung abzählbar-vieler abzählbarer Mengen wiederumabzählbar ist. DC benötigt man z. B. für die Äquivalenz verschiedener Endlichkeitsdefinitionensowie zum Beweis, daß die Minimalitätsbedingung der Fundiertheit(s. F1 von 6.1.3)F1 ∀z(/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z y ≮ x)äquivalent ist zur Aussage, daß es keine unendlich-absteigenden