Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN UND HAUSDORFF 75Diese beiden Aussagen sind äquivalent zum Auswahlaxiom:Beweis von WO ⇒ H: r sei partielle Ordnung auf a, a = {a ξ |ξ < α} sei wohlgeordnet.Wir definieren eine Teilmenge {b ξ |ξ < α} von a durch Rekursion wiefolgt:{aβ falls {b ξ |ξ < β} ∪ {a β } r-Kette,b β =a 0sonst.Damit erhalten wir eine maximale r-Kette {b ξ |ξ < α} (mit b 0 = a 0 ).H ⇒ ZL: Sei r partielle Ordnung auf a, die (*) erfüllt. Nach H existiert einemaximale r-Kette k ⊆ a. Eine obere Schranke von k ist dann ein maximalesElement (sonst könnte man k echt erweitern).ZL ⇒ AC: Sei a ≠ /0 und ∀x ∈ a x ≠ /0. SetzeB := { f | ∃y ⊆ a( f : y → ⋃ a ∧ ∀x ∈ y f (x) ∈ x)}.Jedes Element von B ist eine partielle Auswahlfunktion und Teilmenge vona × ⋃ a, damit ist auch B als Menge b ⊆ P(a × ⋃ a) abschätzbar. Als teilweiseOrdnung auf B = b wählen wir r =⊆ -Beziehung. Für jede r-Kette k ist dann ⋃ keine obere Schranke, und ein nach dem ZORNschen Lemma maximales Elementin B ist dann eine Auswahlfunktion für a .□Bemerkungen• Aus obigem Beweis läßt sich ablesen, daß H sogar allgemeiner gilt: jedepartielle Ordnung r auf a besitzt für jedes b ∈ a eine r-Kette k mit b ∈ k.• Das ZORNsche Lemma ist offenbar trivial, wenn r eine lineare Ordnung aufa ist, weil dann a selbst schon eine Kette ist. Daher kann man Anwendungenvon ZL nur für teilweise Ordnungen erwarten. Wie in obigem Beweisist häufig diese Ordnung die ⊆ -Beziehung, und meistens kann man (*) indiesem Fall nachweisen, indem man zeigt, daßfür jede ⊆-Kette k: ⋃ k ∈ a.(Dann ist ⋃ k nämlich eine obere Schranke.)• Für Anwendungen benötigt man gelegentlich nur abgeschwächte Formendes Auswahlaxioms: