Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN UND HAUSDORFF 74BemerkungDer Wohlordnungssatz besagt, daß jede Menge eine Wohlordnung besitzt, ohne(wie schon im Falle des Auswahlaxioms und ähnlich auch für die folgendenMaximumsprinzipien) konkret eine Wohlordnung anzugeben. Endliche Mengenlassen sich leicht wohlordnen (man braucht sie ja nur zu ordnen) und alle Wohlordnungensind in diesem Falle isomorph. Im Falle unendlicher Mengen dagegengibt es (wenn überhaupt!) stets verschiedene Wohlordnungen, wenn auch für jedeWohlordnung ihr Ordnungstyp eindeutig bestimmt ist.10.3 Maximumsprinzipien von Zorn und HausdorffDiese Prinzipien formulieren wir am besten für reflexive Ordnungen:Eine (reflexive) teilweise Ordnung auf A ist eine 2-stellige Relation R auf A,für die gilt:(a) ∀x ∈ A xRx reflexiv,(b) ∀x,y,z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz) transitiv,(c) ∀x,y ∈ A (xRy ∧ yRx → x = y) antisymmetrisch.(d) K ⊆ A heißt R-Kette: ↔ ∀x,y ∈ K (xRy ∨ yRx),d.h. je zwei Elemente aus K sind bzgl. R vergleichbar;(e) a ∈ A heißt R-obere Schranke von B ⊆ A :↔ ∀x ∈ B xRa,a ∈ A heißt R-maximal: ↔ ∀x ∈ A (aRx → a = x).Ein maximales Element besitzt also kein echt größeres, braucht aber nicht dasgrößte Element zu sein (zumindest nicht in einer teilweisen Ordnung).HAUSDORFFsches Maximumsprinzip (H,1914)r sei teilweise Ordnung auf der Menge a. Dann gibt es eine (bzgl. ⊆) maximaler-Kette k, d. h. ein k ⊆ a mit: k ist r-Kette ∧∀y ( y r-Kette ∧ k ⊆ y → k = y).ZORNsches Lemma (ZL,1935)r sei teilweise Ordnung auf der Menge a mit der Eigenschaft(*) jede r-Kette besitzt eine r-obere Schranke.Dann hat a ein maximales Element (bzgl. r).