Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENTE FORMEN 7210.1 Mengentheoretisch äquivalente FormenAC2 ∀x ∈ a F(x) ≠ /0 → ∏ x∈a F(x) ≠ /0AC2´ ∀x ∈ a ∃y ϕ(x,y) → ∃ f [Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a ϕ(x, f (x))](ein solches f heißt Auswahlfunktion für ϕ)AC3 ∀x ∈ a x ≠ /0 ∧ ∀x,y ∈ a(x ≠ y → x ∩ y = /0) → ∃z∀x ∈ a∃!u u ∈ z ∩ x(ein solches z heißt Auswahlmenge für die nicht-leeren, disjunkten Mengenin a; ∃!u... = es existiert genau ein u. . . )AC3´ r Äquivalenzrelation auf a → ∃z∀x ∈ a∃!u(x,u) ∈ r(jede Äquivalenzrelation besitzt ein Repräsentantensystem)AC4 Fkt( f ) → ∃g(Fkt(g) ∧ g : W( f ) ↣ D( f ) ∧ g ⊆ f −1 )(jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion; f −1 := {(y,x) | (x,y) ∈ f })AC5 Rel(r) → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = D(r) ∧ f ⊆ r)Der Beweis dieser Aussagen aus dem Auswahlaxiom beruht darauf, daß manin allen diesen Fällen eine Auswahl in Abhängigkeit von den Elementen einerMenge treffen muß (dabei benötigt man für AC2´ das Fundierungsaxiom, umden Bereich der möglichen y auf eine genügend große Menge V α einschränkenzu können). Umgekehrt sind die obigen Auswahlprinzipien allgemein genug, umhieraus das ursprüngliche AC zu folgern.□10.2 Der Zermelosche WohlordnungssatzDas Auswahlaxiom, AC, ist äquivalent zum Wohlordnungssatz:WO1bzw.WO2∀x∃r(r ist Wohlordnung auf x),∀x∃ f ∃α( f : α ←→ x),d. h. jede Menge a läßt sich aufzählen:a = {a ξ |ξ < α} für ein α und eine Folge (a ξ ξ < α).