Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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71Kapitel 10Das Auswahlaxiomsteht am Anfang der Entwicklung einer axiomatischen Mengenlehre: ZERMELOstellte sein Axiomensystem in Zusammenhang mit seinem zweiten Beweis desWohlordnungssatzes dar, und bis heute ist es wohl das interessanteste Axiom gebliebenwegen seiner Auswirkungen nicht nur für die Mengenlehre, sondern auchfür fast alle Gebiete der Mathematik. 1 In seiner einfachsten Form besagt es, daßdas Produkt einer Menge nicht-leerer Mengen wiederum nicht leer ist (RUSSELL1906: multiplicative axiom):Auswahlaxiom: (AC,1904/08) ∀x ∈ a x ≠ /0 → ∏ x∈a x ≠ /0,d. h. ∀x ∈ a x ≠ /0 → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x)(ein solches f heißt Auswahlfunktion für die Menge a.)Das AC ist unabhängig von den übrigen ZF-Axiomen:Ist ZF 0 (= ZF ohne Fundierungsaxiom) widerspruchsfrei, so auchZF 0 + ¬AC (FRAENKEL 1922),ZF + AC (GÖDEL 1938),ZF + ¬AC (COHEN 1963).Im Gegensatz zu den anderen mengentheoretischen Axiomen fordert es dieExistenz einer Menge, ohne sie zu definieren oder auch nur einen Hinweis füreine mögliche Beschreibung zu bieten. Ähnlich ist es im Falle des Fundierungsaxioms,dafür hat aber das Auswahlaxiom zahlreiche Anwendungen, besitzt aberauch verschiedene1 Zur Geschichte und Problematik des Auswahlaxioms s. das Buch von G.H. MOORE: Zermelo´saxiom of choice, Springer 1982
10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENTE FORMEN 7210.1 Mengentheoretisch äquivalente FormenAC2 ∀x ∈ a F(x) ≠ /0 → ∏ x∈a F(x) ≠ /0AC2´ ∀x ∈ a ∃y ϕ(x,y) → ∃ f [Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a ϕ(x, f (x))](ein solches f heißt Auswahlfunktion für ϕ)AC3 ∀x ∈ a x ≠ /0 ∧ ∀x,y ∈ a(x ≠ y → x ∩ y = /0) → ∃z∀x ∈ a∃!u u ∈ z ∩ x(ein solches z heißt Auswahlmenge für die nicht-leeren, disjunkten Mengenin a; ∃!u... = es existiert genau ein u. . . )AC3´ r Äquivalenzrelation auf a → ∃z∀x ∈ a∃!u(x,u) ∈ r(jede Äquivalenzrelation besitzt ein Repräsentantensystem)AC4 Fkt( f ) → ∃g(Fkt(g) ∧ g : W( f ) ↣ D( f ) ∧ g ⊆ f −1 )(jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion; f −1 := {(y,x) | (x,y) ∈ f })AC5 Rel(r) → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = D(r) ∧ f ⊆ r)Der Beweis dieser Aussagen aus dem Auswahlaxiom beruht darauf, daß manin allen diesen Fällen eine Auswahl in Abhängigkeit von den Elementen einerMenge treffen muß (dabei benötigt man für AC2´ das Fundierungsaxiom, umden Bereich der möglichen y auf eine genügend große Menge V α einschränkenzu können). Umgekehrt sind die obigen Auswahlprinzipien allgemein genug, umhieraus das ursprüngliche AC zu folgern.□10.2 Der Zermelosche WohlordnungssatzDas Auswahlaxiom, AC, ist äquivalent zum Wohlordnungssatz:WO1bzw.WO2∀x∃r(r ist Wohlordnung auf x),∀x∃ f ∃α( f : α ←→ x),d. h. jede Menge a läßt sich aufzählen:a = {a ξ |ξ < α} für ein α und eine Folge (a ξ ξ < α).
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