Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN REKURSION 69SatzUnter der Voraussetzung der übrigen Axiome von ZF (einschließlich des Aussonderungsschemas)ist dasErsetzungsaxiom + Unendlichkeitsaxiom äquivalent zum Hüllenaxiom.Beweis: HS haben wir in obigem Satz in ZF gezeigt. Umgekehrt folgt aus HS dasUnendlichkeitsaxiom (mit a = /0 und F(x) = x ′ ) und ähnlich das Ersetzungsaxiom,indem es für eine Funktion F und eine Menge a zunächst eine Obermenge b ⊇ amit {F(x) | x ∈ b} ⊆ b liefert, für die dann aber {F(x) | x ∈ a} als Teilklasse vonb eine Menge nach dem Aussonderungsaxiom ist.□Anwendungen des Hüllenaxioms1. Ähnlich wie wir ω als (kleinste) Ordinalzahl erhalten können, die > 0 istund unter ′ abgeschlossen ist, erhalten wir zu jeder Ordinalzahl α eine(nächstgrößere) Limeszahl λ > α, aber auch Ordinalzahlen > α, die unterarithmetischen Operationen abgeschlossen sind:∀ξ ,η < γ ξ + η < γ bzw. die ε-Zahlen: ∀ξ < ε 2 ξ < ε, usw.(In ähnlicher Weise haben wir Fixpunkte für Normalfunktionen erhalten, s.7.4.)2. Die Existenz der transitiven Hülle TC(a) einer Menge a folgt unmittelbaraus HS (in 8.1 haben wir sie durch durch ω-Iteration gebildet).3. Eine Menge ist endlich gdw sie sich auf die Zahlen {0,...,n} für einenatürliche Zahl n abbilden läßt,HF := {x | TC(x) endlich} ist die Klasse der erblich-endlichen Mengen.Sie läßt sich auch beschreiben durch HF = V ω und ist somit eine Menge(wobei man wesentlich das Unendlichkeitsaxiom benutzt - dagegen ist dieKlasse aller endlichen Mengen stets eine echte Klasse).4. Mit Hilfe der von-NEUMANNschen Stufenhierarchie kann man die folgendenVerstärkungen des Hüllenaxioms erhalten:∀x ∃y ϕ(x,y,...) → ∃α ∀x ∈ V α ∃y ∈ V α ϕ(x,y,...), bzw.∀x ∈ a ∃y ϕ(x,y,...) → ∃u (a ⊆ u ∧ ∀x ∈ a ∃y ∈ u ϕ(x,y,...)),welche sich (in engem Zusammenhang mit den Reflexionsprinzipien) auchzur Axiomatisierung von ZF verwenden lassen (s. Teil V).