Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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9.2. DIE THEORIE DER ENDLICHEN MENGEN 67f ist surjektiv: Sei v := W( f ) = { f (n) | n ∈ ω}. Dann folgt aus den rekursivenBedingungen für f :e ∈ v ∧ ∀x(x ∈ v → x ∗ ∈ v),also nach (3): w ⊆ v und damit w = v, d. h. f ist surjektiv.f ist injektiv, d. h.(i)m ≠ n → f (m) ≠ f (n).Zunächst zeige man durch Induktion über m, daß jede von 0 verschiedene Zahleinen Vorgänger besitzt:und dann (i) durch Induktion über n:(ii) m ≠ 0 → ∃n(m = n ′ )1. Sei n = 0 und n ≠ m. Dann ist m ≠ 0, also nach (i) m = k ′ für ein k unddamit f (0) = e ≠ f (m) = f (k) ∗ nach (2).2. Sei (i) bewiesen für n (und alle m), m ≠ n ′ . Falls m = 0, schliessen wirwie oben auf f (m) ≠ f (n ′ ). Falls m ≠ 0, so ist wieder m = k ′ für ein k. Ausm = k ′ ≠ n ′ folgt wegen (P2) k ≠ n und damit nach Induktionsvoraussetzungf (k) ≠ f (n).□9.2 Die Theorie der endlichen MengenBezeichnet ZF f in die Theorie ZF, in welcher das Unendlichkeitsaxiom durch seineNegation ersetzt ist, so kann man sie als Theorie der endlichen Mengen auffassen;(V ω ,∈) ist “das Standardmodell” dieser Theorie. Diese ist ebenso “stark” wie diePEANO-Arithmetik PA, d. h. sie lassen sich wechselweise ineinander interpretieren,und damit ist insbesondere ZF ohne das Unendlichkeitsaxiom genau dannwiderspruchsfrei, wenn die PEANO-Arithmetik widerspruchsfrei ist:• Wie oben bemerkt, kann man in ZF ohne Unendlichkeitsaxiom die natürlichenZahlen (als Klasse) definieren und die arithmetischen Operationen derAddition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen (mittels des Rekursionssatzes)definieren, so daß hierfür die PEANO-Axiome gelten,
9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN REKURSION 68• umgekehrt kann man (nach W. ACKERMANN) in der Theorie PA endlicheMengen durch Zahlen kodieren und eine entsprechende ∈-Beziehung sodefinieren, daß hierfür die Axiome von ZF f in gelten.• In ZF ohne Unendlichkeitsaxiom (oder einer geeigneten Erweiterung vonPA zur Theorie 2. Stufe) kann man auch eine eingeschränkte Analysis betreiben;um aber etwa die Gesamtheit der reellen Zahlen zur Verfügung zuhaben, benötigt man das Unendlichkeitsaxiom.9.3 Anwendungen der numerischen RekursionAls Spezialfall des Rekursionstheorems für die natürlichen Zahlen erhalten wirdie Möglichkeit, Funktionen zu iterieren und damit Mengen zu erhalten, die untervorgegebenen Funktionen abgeschlossen sind:Satz über die Iteration und den Abschluß(i) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine FunktionH : N ×V −→ V mitH(0,a) = a, H(n + 1,a) = F(H(n,a)).Wir nennen H auch die Iteration von F mit dem Anfangswert a undschreiben auch F n (a) für H(n,a).(ii) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine Obermenge b von a, dieunter F abgeschlossen ist:∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y)Beweis von (ii): Zu gegebenem F und der Ausgangsmenge a definiere durch Rekursioneine Funktion G mit den EigenschaftenG(0) = a, G(n ′ ) = {F(x) | x ∈ G(n)} und setze b := ⋃G(n).Dann ist offensichtlich a ⊆ b ∧ ∀x ∈ b F(x) ∈ b, und zwar ist b die kleinste derartigeMenge, die Hülle oder der Abschluß von a unter der Abbildung F. □Für viele Anwendungen gut zu benutzen ist dasHüllenaxiom (HS)∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y).n∈ω
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9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN REKURSION 68• umgekehrt kann man (nach W. ACKERMANN) in der Theorie PA endlicheMengen durch Zahlen kodieren und eine entsprechende ∈-Beziehung sodefinieren, daß hierfür die Axiome von ZF f in gelten.• In ZF ohne Unendlichkeitsaxiom (oder einer geeigneten Erweiterung vonPA <strong>zur</strong> Theorie 2. Stufe) kann man auch eine eingeschränkte Analysis betreiben;um aber etwa die Gesamtheit der reellen Zahlen <strong>zur</strong> Verfügung zuhaben, benötigt man das Unendlichkeitsaxiom.9.3 Anwendungen der numerischen RekursionAls Spezialfall des Rekursionstheorems für die natürlichen Zahlen erhalten wirdie Möglichkeit, Funktionen zu iterieren und damit Mengen zu erhalten, die untervorgegebenen Funktionen abgeschlossen sind:Satz über die Iteration und den Abschluß(i) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine FunktionH : N ×V −→ V mitH(0,a) = a, H(n + 1,a) = F(H(n,a)).Wir nennen H auch die Iteration von F mit dem Anfangswert a undschreiben auch F n (a) für H(n,a).(ii) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine Obermenge b von a, dieunter F abgeschlossen ist:∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y)Beweis von (ii): Zu gegebenem F und der Ausgangsmenge a definiere durch Rekursioneine Funktion G mit den EigenschaftenG(0) = a, G(n ′ ) = {F(x) | x ∈ G(n)} und setze b := ⋃G(n).Dann ist offensichtlich a ⊆ b ∧ ∀x ∈ b F(x) ∈ b, und zwar ist b die kleinste derartigeMenge, die Hülle oder der Abschluß von a unter der Abbildung F. □Für viele Anwendungen gut zu benutzen ist dasHüllenaxiom (HS)∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y).n∈ω
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