Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 65Für die natürlichen Zahlen als spezielle Ordinalzahlen können wir aus den jeweiligenPrinzipien für die Ordinalzahlen entsprechende Aussagen über die natürlichenZahlen gewinnen (dabei benutzen wir für natürliche Zahlen wie üblich dieVariablen n, m, k):InduktionsprinzipInduktionsschemaMinimumsprinzip∀n(∀m < n m ∈ A → n ∈ A) → ∀n n ∈ Aϕ(0) ∧ ∀n[ϕ(n) → ϕ(n + 1)] → ∀n ϕ(n)∃nϕ(n) → ∃n[ϕ(n) ∧ ∀m < n ¬ϕ(m)]Rekursion Sind G,H : N×V −→ V Funktionen, a eine Menge, so existiert genaueine Funktion F : N −→ V mitF(0) = aF(n + 1) = G(n,F(n).9.1 Die Peano-Theorie PADie Sprache von PA enthält ein 1-stelliges Funktionszeichen ′ , zwei 2-stelligeFunktionszeichen +,· sowie eine Individuenkonstante 0. Ähnlich wie im Falleder mengentheoretischen Sprache bilden wir hieraus die Menge der zahlentheoretischenFormeln, in welcher nun dieAxiome von PA formuliert werden:P1 x ′ ≠ 0 P2 x ′ = y ′ → x = yP1 x + 0 = x P5 x · 0 = 0P4 x + y ′ = (x + y) ′ P6 x · y ′ = x · y + xsowie die unendlich-vielen Induktionsaxiome:IndS ϕ(0) ∧ ∀x(ϕ(x) → ϕ(x ′ )) → ∀x ϕ(x),wobei ϕ eine Formel der zahlentheoretischen Sprache ist.Die Menge der natürlichen Zahlen ω mit a ′ = a∪{a}, 0 = /0 und mit den mengentheoretisch(durch Rekursion auf den natürlichen Zahlen) definierten Operationen+,· (der Einfachheit halber benutzen wir hierfür dieselben Zeichen wie fürdie Symbole der Sprache von PA) bilden ein Modell von PA, dasStandardmodell N = (ω, ′ ,+,·,0).
9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle, die nicht isomorph zum Standardmodell sind, heißen Nichtstandardmodelle.Im Rahmen der Mathematischen Logik zeigt man, daß die obige Theoriesehr viele (sowohl abzählbare wie auch überabzählbare) Nichtstandardmodellebesitzt. Im Rahmen der Mengenlehre dagegen kann man das InduktionsschemaIndS aber nicht nur für Aussagen der Sprache von PA, sondern für beliebige mengentheoretischeFormeln nachweisen, und es läßt sich in ZF zeigen, daß das Standardmodellbis auf Isomorphie das einzige dieser (mengentheoretisch erweiterten)Axiome ist (wobei man P3 − P6 nicht einmal benötigt):Kategorizität der mengentheoretischen PEANO-AxiomeDie Theorie PA (2) (PEANO-Axiome 2. Stufe) besitzt folgende Axiome:P1∀x e ≠ xP2 ∀x∀y(x ′ = y ′ → x = y)Ind (2) ∀X[0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x ′ ∈ X) → ∀x x ∈ X]Die Kategorizität dieser Theorie besagt, daß es (bis auf Isomorphie) genau einModell gibt, d. h.:Jedes Modell von PA (2) ist isomorph zum Standardmodell (ω, ′ ,0).Beweis: Ind (2) ist ein Axiom, in welchem ∀X ein Quantor 2. Stufe ist, welcherin einem Modell (w,∗,e) ausdrückt: für alle Teilmengen von w . . . , d. h. diesesAxiom entspricht dem mengentheoretische Induktionsprinzip.Es sei nun also (w, ∗ ,e) ein Modell von PA (2) , d.h.(1) e ≠ x ∗ für alle x ∈ w,(2) x ∗ = y ∗ → x = y für alle x,y ∈ w,(3) e ∈ v ∧ ∀x(x ∈ v → x ∗ ∈ v) → w ⊆ v für alle Mengen v ⊆ w.Der gesuchte Isomorphismus ist eine Abbildung f : ω ←→ w mitf (0) = e ∧ ∀n ∈ ω f (n ′ ) = f (n) ∗ .Der Rekursionssatz für die natürlichen Zahlen liefert ein (sogar eindeutig bestimmtes)f mit dieser Eigenschaft; zu zeigen bleibt also nur noch die Bijektivität:
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9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle, die nicht isomorph zum Standardmodell sind, heißen Nichtstandardmodelle.Im Rahmen der Mathematischen Logik zeigt man, daß die obige Theoriesehr viele (sowohl abzählbare wie auch überabzählbare) Nichtstandardmodellebesitzt. Im Rahmen der <strong>Mengenlehre</strong> dagegen kann man das InduktionsschemaIndS aber nicht nur für Aussagen der Sprache von PA, sondern für beliebige mengentheoretischeFormeln nachweisen, und es läßt sich in ZF zeigen, daß das Standardmodellbis auf Isomorphie das einzige dieser (mengentheoretisch erweiterten)Axiome ist (wobei man P3 − P6 nicht einmal benötigt):Kategorizität der mengentheoretischen PEANO-AxiomeDie Theorie PA (2) (PEANO-Axiome 2. Stufe) besitzt folgende Axiome:P1∀x e ≠ xP2 ∀x∀y(x ′ = y ′ → x = y)Ind (2) ∀X[0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x ′ ∈ X) → ∀x x ∈ X]Die Kategorizität dieser Theorie besagt, daß es (bis auf Isomorphie) genau einModell gibt, d. h.:Jedes Modell von PA (2) ist isomorph zum Standardmodell (ω, ′ ,0).Beweis: Ind (2) ist ein Axiom, in welchem ∀X ein Quantor 2. Stufe ist, welcherin einem Modell (w,∗,e) ausdrückt: für alle Teilmengen von w . . . , d. h. diesesAxiom entspricht dem mengentheoretische Induktionsprinzip.Es sei nun also (w, ∗ ,e) ein Modell von PA (2) , d.h.(1) e ≠ x ∗ für alle x ∈ w,(2) x ∗ = y ∗ → x = y für alle x,y ∈ w,(3) e ∈ v ∧ ∀x(x ∈ v → x ∗ ∈ v) → w ⊆ v für alle Mengen v ⊆ w.Der gesuchte Isomorphismus ist eine Abbildung f : ω ←→ w mitf (0) = e ∧ ∀n ∈ ω f (n ′ ) = f (n) ∗ .Der Rekursionssatz für die natürlichen Zahlen liefert ein (sogar eindeutig bestimmtes)f mit dieser Eigenschaft; zu zeigen bleibt also nur noch die Bijektivität:
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