Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 65Für die natürlichen Zahlen als spezielle Ordinalzahlen können wir aus den jeweiligenPrinzipien für die Ordinalzahlen entsprechende Aussagen über die natürlichenZahlen gewinnen (dabei benutzen wir für natürliche Zahlen wie üblich dieVariablen n, m, k):InduktionsprinzipInduktionsschemaMinimumsprinzip∀n(∀m < n m ∈ A → n ∈ A) → ∀n n ∈ Aϕ(0) ∧ ∀n[ϕ(n) → ϕ(n + 1)] → ∀n ϕ(n)∃nϕ(n) → ∃n[ϕ(n) ∧ ∀m < n ¬ϕ(m)]Rekursion Sind G,H : N×V −→ V Funktionen, a eine Menge, so existiert genaueine Funktion F : N −→ V mitF(0) = aF(n + 1) = G(n,F(n).9.1 Die Peano-Theorie PADie Sprache von PA enthält ein 1-stelliges Funktionszeichen ′ , zwei 2-stelligeFunktionszeichen +,· sowie eine Individuenkonstante 0. Ähnlich wie im Falleder mengentheoretischen Sprache bilden wir hieraus die Menge der zahlentheoretischenFormeln, in welcher nun dieAxiome von PA formuliert werden:P1 x ′ ≠ 0 P2 x ′ = y ′ → x = yP1 x + 0 = x P5 x · 0 = 0P4 x + y ′ = (x + y) ′ P6 x · y ′ = x · y + xsowie die unendlich-vielen Induktionsaxiome:IndS ϕ(0) ∧ ∀x(ϕ(x) → ϕ(x ′ )) → ∀x ϕ(x),wobei ϕ eine Formel der zahlentheoretischen Sprache ist.Die Menge der natürlichen Zahlen ω mit a ′ = a∪{a}, 0 = /0 und mit den mengentheoretisch(durch Rekursion auf den natürlichen Zahlen) definierten Operationen+,· (der Einfachheit halber benutzen wir hierfür dieselben Zeichen wie fürdie Symbole der Sprache von PA) bilden ein Modell von PA, dasStandardmodell N = (ω, ′ ,+,·,0).