Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 63DefinitionR ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse A gdw. R ⊆ A × A undÄ1 ∀x ∈ A xRx reflexivÄ2 ∀x,y ∈ A (xRy → yRx) symmetrischÄ3 ∀x,y,z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz) transitivFür jedes a ∈ A sei [a] R := {x | xRa} die Äquivalenzklasse von a bzgl. R unda R := ([a] R ) min die entsprechende Teilmenge von minimalem Rang.Abstraktionsprinzip (FREGE 1884, RUSSELL 1907, SCOTT 1955)Es sei R Äquivalenzrelation auf A. Dann ist A die Vereinigung der paarweise disjunktenÄquivalenzklassen: A = ⋃ a∈A[a] R mita ∈ [a] R[a] R ≠ [b] R → [a] R ∩ [b] R = /0[a] R = [b] R ↔ aRb.Die a R sind immer Mengen, und für sie gilt immerhin noch:a R ≠ /0,a R = b R ↔ aRb,so daß sie als Repräsentantenmengen für die Äquivalenzklassen gewählt werdenkönnen.
64Kapitel 9Die Rolle des UnendlichkeitsaxiomsWenn man möglichst schnell und einfach das Induktionsprinzip für die natürlichenZahlen erhalten will, so definiert man sie als Durchschnitt aller induktivenMengen (und damit als kleinste induktive Menge):N := ⋂ {x | Ind(x)},wobeiInduktiv(a) :↔ /0 ∈ a ∧ ∀y(y ∈ a → y ∪ {y} ∈ a).Da der Durchschnitt über die leere Menge jedoch keine Menge (sondern die echteKlasse aller Mengen) ist, muß man für diesen Weg das Unendlichkeitsaxiom voraussetzen(welches gerade besagt, daß es eine induktive Menge gibt). Wir wollenjedoch - soweit möglich - dieses Axiom vermeiden und wählen daher den Begriffder natürlichen Zahl als “endliche” Ordinalzahl, d. h. als Ordinalzahl unterhalbder ersten Limeszahl:Nz(n) : ↔ Ord(n) ∧ (n = 0 ∨ N f (n)) ∧ ∀x ∈ n(x = 0 ∨ N f (x))↔ Ord(n) ∧ ∀λ(Lim(λ) → n < λ) natürliche ZahlDa das Unendlichkeitsaxiom Un auch damit gleichbedeutend ist, daß eine Limeszahlexistiert, bedeutet diese Definition:a) Gilt Un, so ist die kleinste Limeszahl ω = Menge der natürlichen Zahlen.b) Gilt ¬Un, existiert also keine unendliche Menge, so sind alle Mengen endlichund die natürlichen Zahlen bilden eine echte Klasse, die mit der KlasseOn aller Ordinalzahlen zusammenfällt.
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