Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Reflexionsprinzips∃α[a ∈ V α ∧ ∀x 1 ...x n ∈ V α (ϕ V α(x 1 ...x n ) ↔ ϕ(x 1 ...x n ))]ausdrücken, wobei die Formel ϕ a (die Relativierung von ϕ nach a) aus ϕ hervorgeht,indem dort jeder Quantor Qx durch den relativierten Quantor Qx ∈ aersetzt wird. Somit besagt das Reflexionsprinzip, daß zu jeder Formel ϕ ein beliebiggroßes V α existiert, das bezüglich der Eigenschaft ϕ sich wie die AllklasseV verhält. Man kann Reflexionsprinzipien benutzen als alternative Möglichkeit,die Theorie ZF zu axiomatisieren - bei geeigneter Formulierung machen sie alleAxiome über die Existenz von Mengen (bis auf das Aussonderungsaxiom) überflüssigund sind natürlich modelltheoretisch von besonderem Interesse (Näheresim Teil V).8.3 Anwendungen des RangesEine Einteilung aller Mengen in Äquivalenzklassen führt häufig zu echten Klassen;ein geeignetes Repräsentantensystem erhält man dann meistens nur unter Anwendungdes Auswahlaxioms. Mit Hilfe des Rangbegriffes kann man sie aberauch nach SCOTT-TARSKI 1955 auf Mengen beschränken: Jeder Klasse A ordnetman die Elemente von A zu, die minimalen Rang haben:DefinitionSatz(i) a,b ∈ A min → ρ(a) = ρ(b),(ii) A min ⊆ A ∧ A min ∈ V,(iii) A min ≠ /0 ↔ A ≠ /0.A min := {x ∈ A | ∀y ∈ A ρ(x) ≤ ρ(y)}Beweis: (i) folgt aus unmittelbar aus der Definition. Ist A ≠ /0, so existiert nach demFundierungsaxiom für Klassen ein a ∈ A mit a∩A = /0, dieses hat dann unter allenElementen von A den minimalen Rang (es kann aber natürlich mehrere Elementevon minimalem Rang geben). Ist ρ(a) = α, so A min ⊆ V α+1 und somit eine (nichtleere)Menge.□