Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

8.2. MENGEN VON RANG 61Eigenschaften des Ranges(i)(ii)a ⊆ b → ρ(a) ≤ ρ(b)a ∈ b → ρ(a) < ρ(b)(iii) ρ({a}) = ρ(P(a)) = ρ(a) + 1(iv)ρ(α) = ρ(V α ) = α(v) V α = {x|ρ(x) < α}(vi)ρ(α) = ⋃ x∈a ρ(x) + 1 = sup + x∈aρ(x)Beweis: Übungsaufgabe!□Bemerkungen• Wegen ω ⊆ V ω , P(ω) ⊆ V ω+1 , P(ω) ∈ V ω+2 kommen reelle Zahlen, Mengenund Funktionen von reellen Zahlen und alle Objekte der reellen Analysisin V ω+ω vor (sicher schon in V ω+10 ). Darüber hinaus sind die Stufen V αtransitive Mengen mit interessanten Abschlußeigenschaften:• a,b ∈ V α → {a},{a,b},P(a) ∈ V α+1 ,(a,b) ∈ V α+2 .• Ist λ eine Limeszahl, so ist also V λ abgeschlossen unter{a},{a,b},(a,b), ⋃ a,P(a),a × bund enthält mit jedem a auch jede Teilmenge b ⊆ a.• (V ω ,∈) ist Modell aller Axiome von ZF, bis auf das Unendlichkeitsaxiom,das hierin falsch ist (da alle Mengen in V ω endlich sind, s. unten 9.2).• (V λ ,∈) ist für Limeszahlen λ > ωdas Ersetzungsaxiom,Modell aller Axiome von ZF, bis auf• HC := {x | TC(x) abzählbar} ist ein Modell aller Axiome von ZF, bis aufdas Potenzmengenaxiom.• Die Frage nach der Existenz von Ordinalzahlen α, für die (V α ,∈) ein Modellvon ZF ist, führt zu den “großen Kardinalzahlen”, deren Existenz in ZFnicht beweisbar ist (“unerreichbare” Zahlen).Offensichtlich weisen die von-NEUMANNschen Stufen V α gewisse “Ähnlichkeiten”mit V auf. Genauer läßt sich dieser Zusammenhang in der Form eines