Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
8.1. MENGENINDUKTION 59Sei also A ≠ /0, etwa a ∈ A. Setze b := A ∩ TC({a}). Dann ist wegen a ∈ b:b ≠ /0, und zwar eine Menge, auf welche wir das Fundierungsaxiom anwendenkönnen: es existiert ein c ∈ b mit(∗) c ∩ b = /0.Es bleibt zu zeigen: c ∈ A ∧ c ∩ A = /0 :Zunächst ist c ∈ A, da c ∈ b ⊆ A. Wäre c ∩ A ≠ /0, etwa d ∈ c ∩ A, so d ∈ A undwegen d ∈ c ∈ TC({a}) ∧ trans(TC({a})) auch d ∈ TC({a}), also d ∈ c ∩ b imWiderspruch zu (*)!□Durch Mengeninduktion erhalten wir den:SatzV = ⋃V αα∈OnBeweis: Wir setzen zunächst N := ⋃ α∈OnV α und zeigen a ⊆ N → a ∈ N:Sei also a ⊆ N, d. h. ∀x ∈ a ∃α x ∈ V α . Mittelsh : a → On, h(x) ↦→ µα x ∈ V αwählen wir das jeweils kleinste α und bilden das Supremum dieser Menge vonOrdinalzahlen:β := ⋃ x∈ah(x).Dann ist also ∀x ∈ a x ∈ V h(x) ⊆ V β und somit a ⊆ V β . Damit gilt aber a ∈ V β+1 ,d. h. a ∈ N. □Bemerkung1. Zum Beweis des obigen Satzes haben wir das Fundierungsaxiom (in Formder Mengeninduktion) benutzt; tatsächlich ist die Aussage, daß jede Mengeals Element einer Stufe vorkommt, äquivalent zum Fundierungsaxiom: Essei ZF 0 die Theorie ZF, aber ohne das Fundierungsaxiom. Definieren wir inZF 0 den Ordinalzahlbegriff mit dem Zusatz fund(a), so gelten die früherenErgebnisse über transfinite Induktion und Rekursion in ZF 0 . Bildet man nunwieder die KlasseN = ⋃V α ,α∈On
8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {x | f und(x)} die Klasse aller fundierten Mengen, und es gilt inZF 0 :V = N ↔ Fund.2. Man kann zeigen, daß in N alle Axiome von ZF gelten und erhält daraus:Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF = ZF 0 + Fund.3. Mit Hilfe eines anderen inneren Modells kann man auch zeigen:Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF 0 + ¬Fund.Also ist das Fundierungsaxiom unabhängig von den übrigen Axiomen vonZF.8.2 Mengen von RangDie in der Mathematik gebräuchlichen Mengen sind stets fundiert; für den Aufbauder Mengenlehre ist das Fundierungsaxiom zwar weitgehend entbehrlich, vereinfachtaber die Entwicklung der Ordinalzahltheorie. Darüber hinaus läßt es sichbenutzen, um jeder Menge einen “Rang” zuzuordnen:Definition (MIRIMANOFF 1917)ρ(a) := µα a ∈ V α+1Rang von aLemma(i)a ∈ V α ↔ ∃ξ < α a ⊆ V ξ(ii) a ∈ V α → ⋃ a ∈ V α ∧ {a},P(a) ∈ V α+1(iii)(iv)(v)a ⊆ b ∈ V α → a ∈ V αV α ∩ On = αα < β ↔ V α ∈ V β , α ≤ β ↔ V α ⊆ V βBeweis: (i) und (iv) zeigt man durch Induktion über α, (ii) folgt aus (i) und derTransitivität der V α ’s, und (iii) folgt aus (i). (v) zeigt man am einfachsten mit (iv)des folgenden Lemmas.□
- Seite 15 und 16: 1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
- Seite 17 und 18: 1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
- Seite 19 und 20: 12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
- Seite 21 und 22: 2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
- Seite 23 und 24: 2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
- Seite 25 und 26: 2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
- Seite 27 und 28: 20Kapitel 3Extensionalität und Aus
- Seite 29 und 30: 3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
- Seite 31 und 32: 24Kapitel 4Relationen und Funktione
- Seite 33 und 34: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
- Seite 35 und 36: 4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
- Seite 37 und 38: 5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
- Seite 39 und 40: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
- Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 85 und 86: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 93 und 94: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97 und 98: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 99 und 100: 11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
- Seite 101 und 102: 11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {x | f und(x)} die Klasse aller fundierten Mengen, und es gilt inZF 0 :V = N ↔ Fund.2. Man kann zeigen, daß in N alle Axiome von ZF gelten und erhält daraus:Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF = ZF 0 + Fund.3. Mit Hilfe eines anderen inneren Modells kann man auch zeigen:Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF 0 + ¬Fund.Also ist das Fundierungsaxiom unabhängig von den übrigen Axiomen vonZF.8.2 Mengen von RangDie in der Mathematik gebräuchlichen Mengen sind stets fundiert; für den Aufbauder <strong>Mengenlehre</strong> ist das Fundierungsaxiom zwar weitgehend entbehrlich, vereinfachtaber die Entwicklung der Ordinalzahltheorie. Darüber hinaus läßt es sichbenutzen, um jeder Menge einen “Rang” zuzuordnen:Definition (MIRIMANOFF 1917)ρ(a) := µα a ∈ V α+1Rang von aLemma(i)a ∈ V α ↔ ∃ξ < α a ⊆ V ξ(ii) a ∈ V α → ⋃ a ∈ V α ∧ {a},P(a) ∈ V α+1(iii)(iv)(v)a ⊆ b ∈ V α → a ∈ V αV α ∩ On = αα < β ↔ V α ∈ V β , α ≤ β ↔ V α ⊆ V βBeweis: (i) und (iv) zeigt man durch Induktion über α, (ii) folgt aus (i) und derTransitivität der V α ’s, und (iii) folgt aus (i). (v) zeigt man am einfachsten mit (iv)des folgenden Lemmas.□