Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

8.1. MENGENINDUKTION 59Sei also A ≠ /0, etwa a ∈ A. Setze b := A ∩ TC({a}). Dann ist wegen a ∈ b:b ≠ /0, und zwar eine Menge, auf welche wir das Fundierungsaxiom anwendenkönnen: es existiert ein c ∈ b mit(∗) c ∩ b = /0.Es bleibt zu zeigen: c ∈ A ∧ c ∩ A = /0 :Zunächst ist c ∈ A, da c ∈ b ⊆ A. Wäre c ∩ A ≠ /0, etwa d ∈ c ∩ A, so d ∈ A undwegen d ∈ c ∈ TC({a}) ∧ trans(TC({a})) auch d ∈ TC({a}), also d ∈ c ∩ b imWiderspruch zu (*)!□Durch Mengeninduktion erhalten wir den:SatzV = ⋃V αα∈OnBeweis: Wir setzen zunächst N := ⋃ α∈OnV α und zeigen a ⊆ N → a ∈ N:Sei also a ⊆ N, d. h. ∀x ∈ a ∃α x ∈ V α . Mittelsh : a → On, h(x) ↦→ µα x ∈ V αwählen wir das jeweils kleinste α und bilden das Supremum dieser Menge vonOrdinalzahlen:β := ⋃ x∈ah(x).Dann ist also ∀x ∈ a x ∈ V h(x) ⊆ V β und somit a ⊆ V β . Damit gilt aber a ∈ V β+1 ,d. h. a ∈ N. □Bemerkung1. Zum Beweis des obigen Satzes haben wir das Fundierungsaxiom (in Formder Mengeninduktion) benutzt; tatsächlich ist die Aussage, daß jede Mengeals Element einer Stufe vorkommt, äquivalent zum Fundierungsaxiom: Essei ZF 0 die Theorie ZF, aber ohne das Fundierungsaxiom. Definieren wir inZF 0 den Ordinalzahlbegriff mit dem Zusatz fund(a), so gelten die früherenErgebnisse über transfinite Induktion und Rekursion in ZF 0 . Bildet man nunwieder die KlasseN = ⋃V α ,α∈On