Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

57Kapitel 8Die von-Neumannsche Hierarchie8.1 MengeninduktionDas Fundierungsaxiom haben wir bisher nur benutzt, um die Definition der Ordinalzahlenzu vereinfachen. Hier wollen wir es jetzt in einer neuen Bedeutungkennenlernen: jede Menge läßt sich - von der leeren Menge ausgehend - durchBildung von Mengen von Mengen von . . . darstellen. Damit erhalten wir einen stufenweisenAufbau der Mengen, wie er bereits in der RUSSELLschen Typentheorie(s. 2.2) zum Ausdruck gekommen ist. Durch transfinite Rekursion definieren wireine Folge von Mengen (V α |α ∈ On), indem wir mit der leeren Menge beginnenund dann die Potenzmengenoperation iterieren:V α = P α (/0), also : V 0 = /0, V α+1 = P(V α ), V λ = ⋃V ξ für Lim(λ).Die Mengen V α nennt man auch VON-NEUMANNsche Stufen; sie sind transitivund aufsteigend geordnet (kumulativ):ξ