Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN 55Beweis: Offenbar gilt die Behauptung im Falle α = F(α). Anderenfalls muß aberα < F(α) sein, und dann ist die β-Folge monoton:α = β 0 < F(α) = β 1 < F(F(α)) = β 2 < ...Somit gilt aufgrund der Stetigkeitseigenschaft von F:F(β) = ⋃F(β n ) = ⋃β n+1 = ⋃β n = β.n
7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN 56CANTORsche NormalformEs sei α > 1. Dann ist jede Ordinalzahl β eindeutig darstellbar in der Formβ = α γ0 · δ 0 + α γ1 · δ 1 + ...α γ k−1· δ k−1 mit 0 < δ i < α,γ 0 > γ 1 > ... > γ k−1 .Damit erhalten wir eine Verallgemeinerung der Dezimaldarstellung (α = 10)der natürlichen Zahlen auf alle Ordinalzahlen. Interessant ist für Anwendungenauf transfinite Zahlen besonders die Darstellung zur Basis α = ω, wobei die ε-Zahlen dann die Darstellung ε = ω ε · 1 besitzen!
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