Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

7.2. MONOTONIE-GESETZE 51SatzEs sei F : On → On mit ∀ξ (ξ < F(ξ )). Dann ist It(F,a) eine Normalfunktion.Insbesondere sind folgende Funktionen Normalfunktionen:(i) Die Addition als Funktion des 2. Argumentes, d. h.β ↦→ α + β für beliebiges α (da δ < S(δ)),(ii) die Multiplikation als Funktion des 2. Argumentes, d. h.β ↦→ α · β für beliebiges α > 0 (da dann δ < δ + α),(iii) die Potenz als Funktion des 2. Argumentes, d. h.β ↦→ α β für beliebiges α > 1 (da dann δ < δ · α).Somit gelten alle Eigenschaften von Normalfunktionen insbesondere für dieobigen arithmetischen Operationen. Als streng monotone Funktionen sind sie injektivund ihre Umkehrfunktionen sind ebenfalls streng monoton. Die einzigestreng monotone und zugleich surjektive Funktion auf den Ordinalzahlen ist somitdie identische Abbildung:SatzEs sei F : On → On streng monoton, also ∀ξ ,η (ξ < η → F(ξ ) < F(η)). Danngilt:(i) ∀ξ (ξ ≤ F(ξ )),(ii)∀ξ ,η (F(ξ ) < F(η) → ξ < η).Beweis: Falls F(α) < F(β) ist, so muß auch α < β sein, denn nach Voraussetzunggilt β ≤ α → F(β) ≤ F(α). Daraus erhalten wir (ii) und damit auch dieInjektivität von F.(i) kann man durch Induktion beweisen oder mit Hilfe des Minimumsprinzips:Falls α ≰ F(α) für ein α gilt, so wähle man ein kleinstes derartiges α. Dann giltalsoF(α) < α ∧ ∀ξ < α ξ ≤ F(ξ ).Setze γ := F(α). Dann ist γ = F(α) < α, also wegen der Monotonie von FF(F(α)) = F(γ) < F(α) = γ,und somit F(γ) < γ mit γ < α im Widerspruch zur Wahl von α als kleinsterderartiger Zahl!□Hieraus erhalten wir insbesondere die früheren Monotoniegesetze 7.2.□