Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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6.5. KONTRAKTIONSLEMMA 43Damit haben wir eine explizite mengentheoretische Definition einer Funktionerhalten, die durch eine rekursive Bedingung charakterisiert ist, und zwar erhältman die Funktion als Vereinigung von “partiellen” Lösungen der Rekursionsgleichungen.Insbesondere kann man damit die Elemente einer wohlgeordneten Klasseder Größe nach aufzählen - dabei hängt nämlich die Aufzählung eines Elementesb ∈ A ab von der Aufzählung der Vorgänger von b:6.5 KontraktionslemmaR sei eine Wohlordnung auf A. Dann existiert genau eine Abbildung F und einetransitive Klasse B, so daß:F ist ein Isomorphismus: (A,R) ∼ = (B,∈), d. h.F : A ←→ B mitaRb ↔ F(a) ∈ F(b) für alle a,b ∈ A.Dabei sei das geordnete Paar von Klassen etwa definiert durch:(A,B) := (A × {0}) ∪ (B × {1}),und (B,∈) ist die Struktur (B,E B ) mit E B := {x,y | x,y ∈ B ∧ x ∈ y}.Beweis:a) Eindeutigkeit: Sei F : A ←→ B mit aRb ↔ F(a) ∈ F(b), B transitiv. Danngilt für alle b ∈ A:F(b) ∈ B → F(b) ⊆ Ba ∈ F(b) → ∃x(a = F(x) ∈ F(b))a ∈ F(b) ↔ ∃x(a = F(x) ∧ xRb),(*) F(b) = {F(x) | xRb}.wegen trans(B)nach VoraussetzungsomitDadurch ist aber F eindeutig festgelegt, und B ist eindeutig als Wertebereich vonF bestimmt.b) Existenz: Nach dem Rekursionssatz existiert (genau) ein F mit D(F) = Aund für alle b ∈ A:F(b) = {F(x) | xRb},d. h. es existiert ein F : A ↠ B mit der Eigenschaft (*), wobei wir B := W(F)gesetzt haben.
6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHLORDNUNGEN 44F ist injektiv:Sei F(y) = F(z), aber y ≠ z. Da R eine Ordnung ist, so giltyRz und damit F(y) ∈ F(z) oderzRy und damit F(z) ∈ F(y),in beiden Fällen ein Widerspruch zu F(y) = F(z) (und dem Fundierungsaxiom)!F ist ein Isomorphismus:Nach Def. von F gilt: aRb → F(a) ∈ F(b). Sei umgekehrt F(a) ∈ F(b). Dann istF(a) = F(c) für ein cRb, aber a = c (wegen der Injektivität), und somit auch aRb.B ist transitiv:Sei c ∈ B = W(F). Dann ist c = F(b) für ein b ∈ A, andererseits nach Def. von F(d.h. nach (*)): c = F(b) = {F(x) | xRb} ⊆ B, also c ⊆ B.□Da transitive Mengen, die durch die ∈-Beziehung wohlgeordnet sind, geradedie Ordinalzahlen sind, erhalten wir mitOn := {x | Ord(x)}als Klasse aller Ordinalzahlen:6.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen< sei eine Wohlordnung auf A.(i) Ist A = a eine Menge, so gibt es genau eine Abbildung f und genau eineOrdinalzahl α mitf : (a,
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6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHLORDNUNGEN 44F ist injektiv:Sei F(y) = F(z), aber y ≠ z. Da R eine Ordnung ist, so giltyRz und damit F(y) ∈ F(z) oderzRy und damit F(z) ∈ F(y),in beiden Fällen ein Widerspruch zu F(y) = F(z) (und dem Fundierungsaxiom)!F ist ein Isomorphismus:Nach Def. von F gilt: aRb → F(a) ∈ F(b). Sei umgekehrt F(a) ∈ F(b). Dann istF(a) = F(c) für ein cRb, aber a = c (wegen der Injektivität), und somit auch aRb.B ist transitiv:Sei c ∈ B = W(F). Dann ist c = F(b) für ein b ∈ A, andererseits nach Def. von F(d.h. nach (*)): c = F(b) = {F(x) | xRb} ⊆ B, also c ⊆ B.□Da transitive Mengen, die durch die ∈-Beziehung wohlgeordnet sind, geradedie Ordinalzahlen sind, erhalten wir mitOn := {x | Ord(x)}als Klasse aller Ordinalzahlen:6.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen< sei eine Wohlordnung auf A.(i) Ist A = a eine Menge, so gibt es genau eine Abbildung f und genau eineOrdinalzahl α mitf : (a,
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