Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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INHALTSVERZEICHNISiiiII Mengen von Mengen von . . . 376 Induktion und Rekursion 386.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . . . . 406.4 Rekursionssatz für Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.5 Kontraktionslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . . . 446.7 Minimumsprinzip, transfinite Induktion und Rekursion . . . . . . 467 Normalfunktionen 477.1 Addition, Multiplikation, Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Monotonie-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Verallgemeinerte Stetigkeit von Normalfunktionen . . . . . . . . 527.4 Fixpunkte von Normalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 Die von-Neumannsche Hierarchie 578.1 Mengeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2 Mengen von Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3 Anwendungen des Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms 649.1 Die Peano-Theorie PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.3 Anwendungen der numerischen Rekursion . . . . . . . . . . . . . 68III Mengen auswählen 7010 Das Auswahlaxiom 7110.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . . . . . . . . . . . 7210.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff . . . . . . . . . . . 7410.4 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe der Mengen 8211 Mächtigkeiten und Kardinalzahlen 8311.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.2 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.3 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.4 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.5 Satz von Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.6 Alternative zum Größenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.7 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.8 Operationen auf den Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.9 Satz von Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412 Die Menge der reellen Zahlen 9712.1 Mengen von der Größe des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . 9712.2 Die Cantorsche Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . 9812.3 Einige topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.4 Satz über perfekte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.5 Der Satz von Cantor-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.6 Die Borelschen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.7 Verspielte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10813 Potenzen von Kardinalzahlen 11013.1 Unendliche Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.2 Satz von König-Jourdain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.3 Eingeschränkte Potenzmengenoperationen . . . . . . . . . . . . . 11513.4 Konfinalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.5 Eigenschaften regulärer Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . 11813.6 Die wichtigsten Eigenschaften der Potenz . . . . . . . . . . . . . 120V Reflexionen über Mengen 12414 Partielle Reflexion 12514.1 Die Levy-Hierarchie der mengentheoretischen Formeln . . . . . . 12514.2 Relativierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12714.3 Die Theorie KP von Kripke-Platek . . . . . . . . . . . . . . . . . 12814.4 Partielle Reflexionsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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- Seite 29 und 30: 3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
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- Seite 33 und 34: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
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- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
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INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe der Mengen 8211 Mächtigkeiten und Kardinalzahlen 8311.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.2 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.3 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.4 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.5 Satz von Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.6 Alternative zum Größenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.7 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.8 Operationen auf den Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.9 Satz von Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412 Die Menge der reellen Zahlen 9712.1 Mengen von der Größe des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . 9712.2 Die Cantorsche Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . 9812.3 Einige topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.4 Satz über perfekte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.5 Der Satz von Cantor-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.6 Die Borelschen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.7 Verspielte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10813 Potenzen von Kardinalzahlen 11013.1 Unendliche Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.2 Satz von König-Jourdain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.3 Eingeschränkte Potenzmengenoperationen . . . . . . . . . . . . . 11513.4 Konfinalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.5 Eigenschaften regulärer Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . 11813.6 Die wichtigsten Eigenschaften der Potenz . . . . . . . . . . . . . 120V Reflexionen über Mengen 12414 Partielle Reflexion 12514.1 Die Levy-Hierarchie der mengentheoretischen Formeln . . . . . . 12514.2 Relativierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12714.3 Die Theorie KP von Kripke-Platek . . . . . . . . . . . . . . . . . 12814.4 Partielle Reflexionsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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