Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUNGEN 426.4 Rekursionssatz für WohlordnungenEs sei R eine Wohlordnung auf A, G: V ×V −→ V eine Funktion. Dann existiertgenau eine Funktion F : A −→ V , die durch die folgenden rekursiven Eigenschaftenbestimmt ist:F(a) = G(a,F ↾ S(a,R)), bzw. als VarianteF(a) = G(a,{F(x) | xRa}).Ferner können G und F weitere Stellen als Parameter enthalten, z. B.F(a,u,v) = G(a,u,v,{F(x,u,v) | xRa}).Beweis:a) Die Eindeutigkeit von F zeigt man durch R-Induktion.b) Für den Nachweis der Existenz definiert man:(i) h brav: ↔ ∃s(s ist Segment ∧ h : s → V ∧ ∀x ∈ s h(x) = G(x,h ↾ S(x,R))),(ii) h verträglich mit g :↔ ∀x ∈ D(h) ∩ D(g) h(x) = g(x)Durch R-Induktion zeigt man, daß je zwei brave Funktionen miteinanderverträglich sind:(iii) h,g brav → ∀x ∈ D(h) ∩ D(g) h(x) = g(x).(Mit Hilfe von (i) des vorigen Lemmas kann man sogar zeigen, daß für jezwei brave h,g gilt: g ⊆ h ∨ h ⊆ g.)Die gesuchte Funktion können wir jetzt explizit definieren durch:(iv) F := ⋃ {h | hbrav }.F ist wegen (iii) eine Funktion, D(F) ist ein Segment, und F erfüllt die Rekursionsbedingungen(als Vereinigung braver Funktionen). Es bleibt zu zeigen, daß Fauf ganz A definiert ist:Wäre B := D(F) echtes Segment von A, so B = S(a,R) für ein a ∈ A nachobigem Lemma (ii), insbesondere B und damit F eine Menge, etwa F = f mitbravem f . Dieses f könnte man dann fortsetzen zu einem bravenh := f ∪ {(a,G(a, f ↾ S(a,R)))}mit a ∈ D(h) = S(a,R) ∪ {a} ein Segment, also müßte auch a ∈ D(F) = B =S(a,R) sein und somit aRa, Widerspruch!□