Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

6.3. INDUKTIONSPRINZIP FÜR WOHLORDNUNGEN 41Falls ∀y(yRa → ϕ(y)) (Induktionsannahme),so gilt ϕ(a) (Induktionsschluß).Dieses Beweisverfahren nennt man auch Beweis durch R-Induktion.Beweis von (i): Annahme: ∀x ∈ A[S(x,R) ⊆ B → x ∈ B], aber A ⊈ B.Dann ist A − B ≠ /0 und besitzt nach obigem Satz ein R-minimales Element a:a ∈ A − B, aber ∀y ∈ A − B ¬yRa, d.h. ∀y(yRa → y ∈ B),also S(a,R) ⊆ B und damit nach der Voraussetzung der R-Induktion: a ∈ B, Widerspruch!(Tatsächlich ist die Aussage (i) von 6.2 logisch äquivalent zur Aussage(i) dieses Satzes: benutze Kontraposition, logische Umformungen und gehe von Bzur Komplementklasse über!)□SegmenteFür eine Relation R definieren wir:Im Falle der ∈-Beziehung E gilt:R-Segment(B) :↔ ∀x∀y(xRy ∧ y ∈ B → x ∈ B).E-Segment(B) ↔ trans(B).Für Ordnungen < sind die Mengen S(a,