Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME 355.3 Überblick über die ZF-AxiomeExtensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = bNullmengenaxiom (Null) ∃y∀x(x ∉ y)Paarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y ↔ x = a ∨ x = b)Summenaxiom (Sum) ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x ∈ a z ∈ x)Ersetzungsschema (ErsS) ∀x∀y∀z(ϕ(x,y) ∧ ϕ(x,z) → y = z)→ ∃u∀y(y ∈ u ↔ ∃x ∈ aϕ(x,y))Potenzmengenaxiom (Pot) ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ a)Unendlichkeitsaxiom (Un) ∃x(/0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x))Fundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x ∈ a ∀y ∈ xy ∉ a.Unter Benutzung von Klassentermen, also Ausdrücken der Form {x | ϕ(x)},bezeichnet mit Großbuchstaben A,B,... und der DefinitionMg(A) :↔ ∃x(x = A)A ist Mengelassen sich die obigen Axiome auch wie folgt kürzer und prägnanter ausdrücken(mit den üblichen Definitionen von Funktionen als Klassen geordneter Paare):Extensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = bNullmengenaxiom (Null) Mg(/0)Paarmengenaxiom (Paar) Mg({a,b})Summenaxiom (Sum) Mg( ⋃ a)Ersetzungsaxiom (ErsS) Fkt(F) → Mg(F[a])Potenzmengenaxiom (Pot) Mg(P(a))Unendlichkeitsaxiom (Un) Mg(N)Fundierungsaxiom (Fund)) a ≠ /0 → ∃x ∈ a x ∩ a = /0.Das Aussonderungsaxiom ist übrigens als Folge des Ersetzungsaxioms überflüssig(wobei man - je nach Art der Formalisierung - noch das Nullmengenaxiombenötigt):Metatheorem(i) Aus den Axiomen Ext,Null,Paar,Ers folgt Aus,(ii) aus ErsS folgt AusS.
5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME 36Beweis von (i): zu zeigen ist: a ∩ A ∈ V .1. Fall: a ∩ A = /0 : Dann gilt die Beh. wegen des Nullmengenaxioms.2. Fall: a ∩ A ≠ /0: Wähle ein b ∈ a ∩ A und definiere eine FunktionF : a ↠ a ∩ A durch{x, falls x ∈ a ∩ A,F(x) =b, sonstund wende das Ersetzungsaxiom an.Dasselbe Argument liefert einen Beweis von (ii), benötigt aber weder dasNullmengenaxiom noch das Paarmengenaxiom:Zu zeigen ist:Definiere dazu eine FormelEs gilt dann:also ex. nach ErsS ein b mit∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ϕ(x)).ψ(x,y) :↔ (ϕ(x) ∧ x = y).ψ(x,y) ∧ ψ(x,z) → y = z,∀y(y ∈ b ↔ ∃x ∈ a ψ(x,y)), d. h.∀y(y ∈ b ↔ ∃x ∈ a (ϕ(x) ∧ x = y)), also∀y(y ∈ b ↔ y ∈ a ∧ ϕ(y))□
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5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME 36Beweis von (i): zu zeigen ist: a ∩ A ∈ V .1. Fall: a ∩ A = /0 : Dann gilt die Beh. wegen des Nullmengenaxioms.2. Fall: a ∩ A ≠ /0: Wähle ein b ∈ a ∩ A und definiere eine FunktionF : a ↠ a ∩ A durch{x, falls x ∈ a ∩ A,F(x) =b, sonstund wende das Ersetzungsaxiom an.Dasselbe Argument liefert einen Beweis von (ii), benötigt aber weder dasNullmengenaxiom noch das Paarmengenaxiom:Zu zeigen ist:Definiere dazu eine FormelEs gilt dann:also ex. nach ErsS ein b mit∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ϕ(x)).ψ(x,y) :↔ (ϕ(x) ∧ x = y).ψ(x,y) ∧ ψ(x,z) → y = z,∀y(y ∈ b ↔ ∃x ∈ a ψ(x,y)), d. h.∀y(y ∈ b ↔ ∃x ∈ a (ϕ(x) ∧ x = y)), also∀y(y ∈ b ↔ y ∈ a ∧ ϕ(y))□
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