Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PRODUKT 34Damit erhalten wir die in der Mathematik gebräuchlichen Operationen, die,auf Mengen angewandt, wiederum Mengen ergeben; das gilt zwar nicht für dasKomplement, aber dieses wird ohnehin in Anwendungen nur relativ zu einer vorgegebenenGrundmenge gebraucht. Es fehlt aber noch die Existenz einer unendlichenMenge (und damit der Zahlbereiche N,Z,R,...), und hierzu benötigen wirdasUnendlichkeitsaxiom (Un)∃x(/0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x))Die kleinste derartige Menge, d. h. der DurchschnittN := ⋂ {x | /0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x)}kann als Menge der natürlichen Zahlen gewählt werden. Im Sinne der Ordinalzahltheorieist es eine Ordinalzahl, und zwar die kleinste unendliche Ordinalzahl,bezeichnet mit ω.Die bisherigen Axiome legen die Gleichheit von Mengen fest (Ext) oder forderndie Existenz von Mengen, die eindeutig beschrieben werden (Paar, Summe,Potenz, Bildmenge, natürliche Zahlen). Von anderer Art ist dasFundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x ∈ a x ∩ a = /0.Dieses schränkt den Mengenbereich ein, indem es “unbequeme” Mengen ausschließt,die man beim gewöhnlichen Aufbau der Mengenlehre nicht benötigt. Wirhaben es bei der Entwicklung der Ordinalzahltheorie bereits benutzt und werdeneine weitere Anwendung später darstellen.