Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PRODUKT 33Allgemeines Produkt∏ F(x) := { f | Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ F(x)}x ∈aWeniger gebräuchlich ist der Sonderfall∏a = ∏x ∈ax := { f | Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x}.BemerkungEs gibt einfache Bijektionen (für a ≠ b)∏ F(x) ←→ F(a),x∈{a}∏ F(x) ←→ F(a) × F(b)x∈{a,b}usw., so daß man das allgemeine Produkt als Verallgemeinerung des endlichenProduktes auffassen kann. Benutzen wir wieder I als Indexmenge und Familienstatt Funktionen, so können wir das allgemeine Produkt auch in der folgendenForm schreiben:für Mengen I :∏i ∈IF i bzw. ∏ a i = {(x i ) i ∈I | ∀i ∈ I x i ∈ a i },i ∈Iwobei wir statt F jetzt auch eine Mengenvariable a einsetzen können, da nachdem Ersetzungsaxiom eine Funktion, die auf einer Menge definiert ist, selbst eineMenge ist.Satz(i) ∏ x ∈a F(x) ⊆ P(a × ⋃ x∈a F(x))(ii) a b = ∏ x ∈a F(x) mit F(x) = b konstant für alle x ∈ a,(iii) a b und ∏ x ∈a F(x) sind Mengen. □Somit können wir die folgenden Mengen bilden:/0, {a}, {a,b}, a ∪ b, a ∩ B, a − b,⋃ ⋃a, F(x), F[a], { f | f : a −→ b}, a × b, ∏F(x), P(a).x∈ax∈a
5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PRODUKT 34Damit erhalten wir die in der Mathematik gebräuchlichen Operationen, die,auf Mengen angewandt, wiederum Mengen ergeben; das gilt zwar nicht für dasKomplement, aber dieses wird ohnehin in Anwendungen nur relativ zu einer vorgegebenenGrundmenge gebraucht. Es fehlt aber noch die Existenz einer unendlichenMenge (und damit der Zahlbereiche N,Z,R,...), und hierzu benötigen wirdasUnendlichkeitsaxiom (Un)∃x(/0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x))Die kleinste derartige Menge, d. h. der DurchschnittN := ⋂ {x | /0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x)}kann als Menge der natürlichen Zahlen gewählt werden. Im Sinne der Ordinalzahltheorieist es eine Ordinalzahl, und zwar die kleinste unendliche Ordinalzahl,bezeichnet mit ω.Die bisherigen Axiome legen die Gleichheit von Mengen fest (Ext) oder forderndie Existenz von Mengen, die eindeutig beschrieben werden (Paar, Summe,Potenz, Bildmenge, natürliche Zahlen). Von anderer Art ist dasFundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x ∈ a x ∩ a = /0.Dieses schränkt den Mengenbereich ein, indem es “unbequeme” Mengen ausschließt,die man beim gewöhnlichen Aufbau der Mengenlehre nicht benötigt. Wirhaben es bei der Entwicklung der Ordinalzahltheorie bereits benutzt und werdeneine weitere Anwendung später darstellen.
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PRODUKT 33Allgemeines Produkt∏ F(x) := { f | Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ F(x)}x ∈aWeniger gebräuchlich ist der Sonderfall∏a = ∏x ∈ax := { f | Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x}.BemerkungEs gibt einfache Bijektionen (für a ≠ b)∏ F(x) ←→ F(a),x∈{a}∏ F(x) ←→ F(a) × F(b)x∈{a,b}usw., so daß man das allgemeine Produkt als Verallgemeinerung des endlichenProduktes auffassen kann. Benutzen wir wieder I als Indexmenge und Familienstatt Funktionen, so können wir das allgemeine Produkt auch in der folgendenForm schreiben:für Mengen I :∏i ∈IF i bzw. ∏ a i = {(x i ) i ∈I | ∀i ∈ I x i ∈ a i },i ∈Iwobei wir statt F jetzt auch eine Mengenvariable a einsetzen können, da nachdem Ersetzungsaxiom eine Funktion, die auf einer Menge definiert ist, selbst eineMenge ist.Satz(i) ∏ x ∈a F(x) ⊆ P(a × ⋃ x∈a F(x))(ii) a b = ∏ x ∈a F(x) mit F(x) = b konstant für alle x ∈ a,(iii) a b und ∏ x ∈a F(x) sind Mengen. □Somit können wir die folgenden Mengen bilden:/0, {a}, {a,b}, a ∪ b, a ∩ B, a − b,⋃ ⋃a, F(x), F[a], { f | f : a −→ b}, a × b, ∏F(x), P(a).x∈ax∈a
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