Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND ERSETZUNG 31von A. FRAENKEL besagt, daß das Bild einer Menge a unter einer Funktion F(welche eine Klasse sein kann) wieder eine Menge ist, bzw. daß man wieder eineMenge erhält, wenn man die Elemente x einer Menge a durch ihre FunktionswerteF(x) ersetzt. Wir können es auch in der folgenden Form schreiben:SatzFkt(F) → Mg(F[a]) bzw.Fkt(F) ∧ Mg(D(F)) → Mg(W(F)).Auf der Basis der bisherigen Axiome (Ext,Null,Paar) gilt:BERNAYSsches Summenaxiom = Summenaxiom + Ersetzungsaxiom.Beweis: Aus BSum folgt Sum, indem man für F die Identität (also F(x) = x) setzt,und das Ers ergibt sich wegen {F(x) | x ∈ a} = ⋃ {{F(x)} | x ∈ a}. Umgekehrt gilt:⋃F(x) = ⋃ {F(x) | x ∈ a} = ⋃ F[a].Satzx∈a(i) Fkt(F) ∧ D(F) ∈ V → W(F),F ∈ V ,d. h. ist der Definitionsbereich einer Funktion eine Menge, so ist nicht nurihr Bild, sondern die Funktion selber eine Menge.(ii) F : A ↠ B ∧ Mg(A) → Mg(B)(iii) F : A ↣ B ∧ Mg(B) → Mg(A)Beweis von (i): Zu gegebener Funktion F definiere eine Funktion G durchD(G) = D(F) und G(x) = (x,F(x)) für x ∈ D(F).Dann ist W(G) = {G(x) | x ∈ D(F)} = {(x,F(x)) | x ∈ D(F)} = F, also auch FMenge nach dem Ersetzungsaxiom (angewandt auf G). Die Beweise von (ii) und(iii) sind leichte Übungsaufgaben.□Die Aussagen (ii) und (iii) werden verständlich, wenn man “Mg(A)” inhaltlichdeutet als “A ist nicht zu groß” und beachtet, daß das Bild einer Funktion eher“kleiner” als der Definitionsbereich ist (da die Funktion möglicherweise verschiedeneMengen auf dasselbe Objekt abbildet. (Genaueres hierzu bei der Einführungdes Begriffes der Kardinalzahl!)□
5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PRODUKT 32Satz über das ProduktDas Produkt zweier Mengen ist wieder eine Menge: Mg(a × b)Beweis: Offensichtlich kann man die Menge b auf {c} × b abbilden, dieses istalso eine Menge nach dem Ersetzungsaxiom. Somit kann man eine FunktionF : a −→ V definieren durch F(x) = {x} × b.Hiermit gilt nun a × b = ⋃ x∈a({x} × b) = ⋃ x∈a F(x).□5.2 Potenzmenge und allgemeines ProduktP(A) := {x | x ⊆ A}b A := { f | f : b −→ A}Potenzmengenaxiom (Pot)Mg(P(a))Potenzklasse von ABelegungsklasse von b nach ABemerkungen• Da Elemente von Klassen stets Mengen sind, ist P(A) nur als Klasse allerTeilmengen von A definierbar, ebenso ist b A nur für Mengen b definierbar.• Es ist stets/0,a ∈ P(a).• Aufgrund der spezifischen Definition des geordneten Paares gilt:a × b ⊆ P(P(a ∪ b)).Also kann man auch mit Hilfe des Potenzmengenaxioms (und des Aussonderungsaxioms)zeigen, daß das Produkt von zwei Mengen wieder eineMenge ist.• Indem man jeder Menge x ⊆ a ihre charakteristische Funktion c x zuordnet,erhält man eine Bijektion der Potenzklasse P(A) auf die Belegungsklasse b 2mit 2 := {0,1} = {/0,{/0}}. Falls a eine endliche Menge mit n Elementen ist,so hat also die Potenzmenge von a 2 n Elemente (was auch für unendlicheMengen gilt und die Bezeichnung “Potenzmenge” erklärt).Wie im Falle der Vereinigung gibt es für eine Menge ein einfaches und für eineFamilie von Mengen ein allgemeines Produkt; in diesem Fall läßt es sich aber nurfür Indexmengen definieren:
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