Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND ERSETZUNG 30Bemerkungen1. Aus dem Summen- und Paarmengenaxiom folgt also, daß für je zwei Mengena und b die Vereinigung a ∪ b wieder eine Menge ist, damit ist dannaber das absolute Komplement einer Menge −a stets eine echte Klasse!2. Dagegen ist a ∩ b eine Menge nach dem Aussonderungsaxiom, allgemeinergilt nach (AusS):A ≠ /0 → Mg( ⋂ A),A ≠ /0 ↔ Mg( ⋂ A).wegen ⋂ /0 = V alsoStatt der obigen Summen und Durchschnitte kommen in der Mathematik häufigerVereinigungen und Durchschnitte von Familien von Mengen vor. Zur Angleichungan den dort üblichen Gebrauch bezeichnen wir den Indexbereich mit I (derzunächst eine Klasse sein kann) und schreiben auch F i für F(i):⋃F i := ⋃ {F i | i ∈ I} = {z | ∃i ∈ I z ∈ F i }i∈I⋂F i := ⋂ {F i | i ∈ I} = {z | ∀i ∈ I z ∈ F i }i∈IVereinigungDurchschnittIn Verallgemeinerung des ZERMELOschen Axioms besagt das Summenaxiomvon P. BERNAYS, daß die Vereinigung von Mengen-vielen Mengen wieder eineMenge ist:Summenaxiom (BSum)Mg( ⋃ x∈a F(x))Der Indexbereich I ist hier eine Menge a, jedem i ∈ a ist eine Menge F(i) zugeordnet,die Zuordnung kann allerdings durch eine Klasse F gegeben sein! Wennman dies beachtet, kann man die BERNAYSsche Summe auch in der vertrautenForm ⋃ i∈I a i und das BERNAYSsche Summenaxiom in der Formschreiben. DasMg( ⋃ i∈I a i ) für jede Indexmenge IErsetzungsaxiom (Ers)Mg({F(x) | x ∈ a})