Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
4.3. FUNKTIONEN 274.3 FunktionenFunktionen identifizieren wir mit ihrem Graphen, d. h. eine Funktion ist eineRelation, die jedem Element ihres Vorbereiches (hier Definitionsbereich genannt)genau ein Element ihres Nachbereiches (hier Wertebereich genannt) zuordnet:Fkt(F) :↔ Rel(F) ∧ ∀x,y,z((x,y) ∈ F ∧ (x,z) ∈ F → y = z).In diesem Fall gibt es also zu jedem a ∈ D(F) genau ein b ∈ W(F), so daß (a,b) ∈F. Dieses b nennen wir wie üblich den Funktionswert von F an der Stelle a undbezeichnen ihn mit F(a):{b, falls Fkt(F) ∧ a ∈ D(F) ∧ (a,b) ∈ FF(a) =/0, sonst.Damit können wir auch die Klasse der F(x) mit einer Eigenschaft ϕ(x) bilden:und insbesondereF[A] := {F(x) | x ∈ A}F ↾ A := {(x,F(x)) | x ∈ A}{F(x) | ϕ(x)} := {y | ∃x(ϕ(x) ∧ y = F(x))}Bild von A unter FEinschränkung von F auf A (als Def.bereich).Oft findet man für Funktionen auch die folgende Bezeichnung unter Angabeihres Definitionsbereiches A und ihres Bildbereiches B:F : A −→ B :↔ Fkt(F) ∧ D(F) = A ∧W(F) ⊆ Bund definiert häufig die Funktion durch Angabe ihres Wertes F(a) für a ∈ A:F : A −→ Ba ↦→ F(a).Es ist dann F = {(a,F(a)) | a ∈ A}, wobei man dann auch oft F = (F a ) a∈A schreibtund von einer Familie spricht, insbesondere wenn der Definitionsbereich eine geordneteMenge (Indexmenge) ist.Ist F : A −→ B, also F eine Abbildung von A nach B, so ist der BildbereichB durch F nicht eindeutig bestimmt; er braucht nämlich den Wertebereich W(F)nur zu enthalten. Ist jedoch Bildbereich = Wertebereich, so heißt F surjektiv oderauf B:F : A ↠ B :↔ F : A −→ B ∧W(F) = B
4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gibt es also zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A mit F(a) = b.Die Angabe des Bildbereiches B ist in diesem Fall wichtig, da jede Funktion eineAbbildung auf ihren Wertebereich ist!Eine Funktion F : A −→ B heißt injektiv oder eineindeutig:F : A ↣ B :↔ ∀x,y ∈ A (F(x) = F(y) → x = y).In diesem Fall gibt es also zu jedem b ∈ W(F) genau ein a ∈ A mit F(a) = b, welchesmit a = F −1 (b) bezeichnet wird. Für eine injektive F Funktion ist nämlichdie inverse Relation F −1 eine Funktion, und zwarF −1 : W(F) −→ A für injektives F : A −→ B.Eine Funktion F : A −→ B heißt bijektiv gdw F injektiv und surjektiv ist:F : A ←→ B :↔ F : A ↣ B ∧ F : A ↠ B.Für eine bijektive Funktion F : A ←→ B ist dann die inverse Funktion (oder Umkehrfunktion)eine AbbildungF −1 : B ←→ AmitF −1 (F(a)) = a, F(F −1 (b)) = b für alle a ∈ A,b ∈ B.
- Seite 1 und 2: Skriptum zur VorlesungMengenlehreKl
- Seite 3 und 4: INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeich
- Seite 5 und 6: INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe
- Seite 7 und 8: INHALTSVERZEICHNISvi18.3 Ideale und
- Seite 9 und 10: 2VorbemerkungDie Mengenlehre hat f
- Seite 11 und 12: 4Kapitel 1Ordnungen und Wohlordnung
- Seite 13 und 14: 1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
- Seite 15 und 16: 1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
- Seite 17 und 18: 1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
- Seite 19 und 20: 12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
- Seite 21 und 22: 2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
- Seite 23 und 24: 2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
- Seite 25 und 26: 2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
- Seite 27 und 28: 20Kapitel 3Extensionalität und Aus
- Seite 29 und 30: 3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
- Seite 31 und 32: 24Kapitel 4Relationen und Funktione
- Seite 33: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
- Seite 37 und 38: 5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
- Seite 39 und 40: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
- Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 67 und 68: 8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gibt es also zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A mit F(a) = b.Die Angabe des Bildbereiches B ist in diesem Fall wichtig, da jede Funktion eineAbbildung auf ihren Wertebereich ist!Eine Funktion F : A −→ B heißt injektiv oder eineindeutig:F : A ↣ B :↔ ∀x,y ∈ A (F(x) = F(y) → x = y).In diesem Fall gibt es also zu jedem b ∈ W(F) genau ein a ∈ A mit F(a) = b, welchesmit a = F −1 (b) bezeichnet wird. Für eine injektive F Funktion ist nämlichdie inverse Relation F −1 eine Funktion, und zwarF −1 : W(F) −→ A für injektives F : A −→ B.Eine Funktion F : A −→ B heißt bijektiv gdw F injektiv und surjektiv ist:F : A ←→ B :↔ F : A ↣ B ∧ F : A ↠ B.Für eine bijektive Funktion F : A ←→ B ist dann die inverse Funktion (oder Umkehrfunktion)eine AbbildungF −1 : B ←→ AmitF −1 (F(a)) = a, F(F −1 (b)) = b für alle a ∈ A,b ∈ B.
Change language