Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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4.1. PAARE 25Tatsächlich gibt es aufgrund der bisherigen Axiome bereits unendlich viele Mengen,z. B./0,{/0},{{/0}},{{{/0}}},... usw., aber die Existenz einer Menge mit mehr alszwei Elementen ist damit noch nicht nachweisbar!Intensionale Charakterisierung der GleichheitUnter der Voraussetzung, daß zu jeder Menge a die Einermenge {a} existiert, giltalso (indem man für x die Menge {a} setzt):∀x(a ∈ x → b ∈ x) → a = b, insbesondere∀x(a ∈ x ↔ b ∈ x) ↔ a = b.Geordnetes Paar (Wiener 1914, Kuratowski 1921)(a,b) := {{a},{a,b}}geordnetes PaarSatz: Charakteristische Eigenschaft des geordneten Paares(i) (a,b) = (c,d) ↔ a = c ∧ b = d(ii) (a,b) = (b,a) ↔ a = bBeweis von (i): Offensichtlich gilt nach Definition der Paarmenge bzw. Einermenge:(∗) {a,b} = {c} → a = b = c,was wir wiederholt benutzen werden.Es sei nun also (a,b) = (c,d), d. h. {{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}.1.Fall: c = d. Die Vor. lautet dann: {{a},{a,b}} = {{c},{c}} = {{c}},also gilt nach (*) {a} = {a,b} = {c},und daraus folgt wiederum mit (*): a = b = c.2.Fall: c ≠ d. Wegen {a} ∈ {{a},{a,b}} = {{c},{c,d}} gilt:{a} ∈ {{c},{c,d}}, also: {a} = {c} oder {a} = {c,d}.Wegen c ≠ d kann letzteres nicht gelten, wir erhalten also {a} = {c} unddamit a = c. Ähnlich gilt wegen {c,d} ∈ {{a},{a,b}}:{c,d} = {a} (nicht möglich wegen c ≠ d) oder {c,d} = {a,b} = {c,b}(letzteres wegen a = c), dann aber: d = b.□
4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMittels geordneter Paare lassen sich auch Tripel(a,b,c) := (a,(b,c))und allgemeiner auch auch n-Tupel definieren. Außerdem können wir damit auch2-stellige Relationen (und ähnlich mittels n-Tupeln n-stellige Relationen) darstellendurch(a,b) ∈ A ↔ ϕ(a,b),entsprechend unserer früheren Einführung von Klassen als Extensionen 1-stelligerPrädikate:a ∈ A ↔ ϕ(a).Die Klasse der Paare (x,y) mit der Eigenschaft ϕ(x,y) ist{x,y | ϕ(x,y)} := {z | ∃x∃y(z = (x,y) ∧ ϕ(x,y))}oder auch geschrieben {(x,y) | ϕ(x,y)}.Ein Sonderfall ist das cartesische ProduktA × B := {x,y | x ∈ A ∧ y ∈ B}.Eine (2-stellige) Relation ist einfach eine Klasse von Paaren:wir schreiben dann auchRel(R) :↔ R ⊆ V ×V ↔ ∀z ∈ R ∃x∃y z = (x,y),aRb :↔ (a,b) ∈ R.Die an erster bzw. zweiter Stelle stehenden Mengen bilden den Vorbereich(domain) bzw. den Nachbereich (range) von R:D(R) := {x | ∃y xRy}W(R) := {y | ∃x xRy}Vertauscht man die Paarmengen in einer Relation, so erhält man die inverse(oder auch konverse) Relation:R −1 := {y,x | xRy}.
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4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMittels geordneter Paare lassen sich auch Tripel(a,b,c) := (a,(b,c))und allgemeiner auch auch n-Tupel definieren. Außerdem können wir damit auch2-stellige Relationen (und ähnlich mittels n-Tupeln n-stellige Relationen) darstellendurch(a,b) ∈ A ↔ ϕ(a,b),entsprechend unserer früheren Einführung von Klassen als Extensionen 1-stelligerPrädikate:a ∈ A ↔ ϕ(a).Die Klasse der Paare (x,y) mit der Eigenschaft ϕ(x,y) ist{x,y | ϕ(x,y)} := {z | ∃x∃y(z = (x,y) ∧ ϕ(x,y))}oder auch geschrieben {(x,y) | ϕ(x,y)}.Ein Sonderfall ist das cartesische ProduktA × B := {x,y | x ∈ A ∧ y ∈ B}.Eine (2-stellige) Relation ist einfach eine Klasse von Paaren:wir schreiben dann auchRel(R) :↔ R ⊆ V ×V ↔ ∀z ∈ R ∃x∃y z = (x,y),aRb :↔ (a,b) ∈ R.Die an erster bzw. zweiter Stelle stehenden Mengen bilden den Vorbereich(domain) bzw. den Nachbereich (range) von R:D(R) := {x | ∃y xRy}W(R) := {y | ∃x xRy}Vertauscht man die Paarmengen in einer Relation, so erhält man die inverse(oder auch konverse) Relation:R −1 := {y,x | xRy}.
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