Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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3.3. DIE BOOLESCHEN OPERATIONEN 23Es zeigt sich hier ein Vorteil der mengentheoretischen Darstellung mit Hilfedes Klassenbegriffs: Die BOOLEschen Gesetze gelten allein aufgrund der Logikund benötigen keine speziellen mengentheoretischen Existenzaxiome. Sie geltenstatt für Klassen natürlich auch für Mengen, allerdings führen nicht alle Operationenvon Mengen zu Mengen (aber von Klassen zu Klassen), denn in den üblichenmengentheoretischen Axiomensystemen ist V (und das Komplement einer Menge)keine Menge. Bereits erwähnt haben wir dasZERMELOsche Aussonderungsschema (AusS)∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x,...))Unter Benutzung von Klassenvariablen und einfachen Definitionen erhaltenwir den:SatzDas Aussonderungsschema ist äquivalent zu den folgenden Aussagen:(i) ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ∧ x ∈ A)Aussonderungsaxiom(ii) ∃y(y = a ∩ A)(iii) a ∩ A ∈ V , d. h. Mg(a ∩ A)(iv) A ⊆ a → Mg(A) Abschätzungssatz □KorollarAus dem Aussonderungsaxiom folgt:(i) Mg(/0)(ii) Mg(a ∩ A)(iii) Mg(a − b)(iv) ¬Mg(V )□Um außer der Existenz der leeren Menge weitere Mengen zu erhalten, brauchenwir die Existenz von Mengen, aus denen ausgesondert werden kann.
24Kapitel 4Relationen und Funktionen4.1 Paare{a,b} := {x | x = a ∨ x = b} ungeordnetes Paar{a} := {x | x = a} = {a,a} Einerklasse von a.Paarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y ↔ x = a ∨ x = b)Insbesondere ist die Einerklasse {a} einer Menge a wiederum eine Menge,die Einermenge von a (unit set). Somit kann man die folgenden Mengen bilden:Setzen wir das{a,b},{a},{a,{a,b}},{{a,c},{e,{a,e}}},{{a,{a,b}},{{a,c},{e,{a,e}}},... usw.Nullmengenaxiom (Null) ∃y∀x(x ∉ y)voraus (welches aus dem Aussonderungsschema folgt, das wir hier aber nochnicht voraussetzen wollen), und bezeichnen die damit existierende Menge alsleere Menge: ∀x(x ∉ /0),so kann man ausgehend von dieser Menge nun etwa folgende Mengen bilden:/0,{/0},{/0,{/0}}...die später für die Zahlen 0, 1, 2. . . stehen werden und untereinander verschiedensind, denn es ist/0 ∈ {/0}, aber /0 ∉ /0, somit /0 ≠ {/0}, ebenso {/0,{/0}} ̸= /0,{/0}.
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24Kapitel 4Relationen und Funktionen4.1 Paare{a,b} := {x | x = a ∨ x = b} ungeordnetes Paar{a} := {x | x = a} = {a,a} Einerklasse von a.Paarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y ↔ x = a ∨ x = b)Insbesondere ist die Einerklasse {a} einer Menge a wiederum eine Menge,die Einermenge von a (unit set). Somit kann man die folgenden Mengen bilden:Setzen wir das{a,b},{a},{a,{a,b}},{{a,c},{e,{a,e}}},{{a,{a,b}},{{a,c},{e,{a,e}}},... usw.Nullmengenaxiom (Null) ∃y∀x(x ∉ y)voraus (welches aus dem Aussonderungsschema folgt, das wir hier aber nochnicht voraussetzen wollen), und bezeichnen die damit existierende Menge alsleere Menge: ∀x(x ∉ /0),so kann man ausgehend von dieser Menge nun etwa folgende Mengen bilden:/0,{/0},{/0,{/0}}...die später für die Zahlen 0, 1, 2. . . stehen werden und untereinander verschiedensind, denn es ist/0 ∈ {/0}, aber /0 ∉ /0, somit /0 ≠ {/0}, ebenso {/0,{/0}} ̸= /0,{/0}.
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