Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
iVorwortDieses Skriptum ist gedacht für die Hörer meiner Vorlesung im Sommersemester2004; es soll weder ein Lehrbuch noch den Besuch der Vorlesung ersetzen,sondern das Mitschreiben erleichtern und zum Nachschlagen der wichtigsten Definitionenund Ergebnisse dienen.Im ersten Teil wird die ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre ZF als axiomatischeTheorie entwickelt. Hier werden die wichtigsten mengentheoretischenBegriffsbildungen eingeführt, wie sie in den verschiedenen Gebieten der Mathematikbenötigt werden. Dabei gehen wir vom zentralen Begriff der Wohlordnungaus, die im anschließenden zweiten Teil zu den Prinzipien der Induktion und Rekursionführt (welche leicht für den Fall fundierter Relationen verallgemeinertwerden können). Mit dem Auswahlaxiom im Teil III wird wieder eine enge Verknüpfungmit einzelnen mathematischen Gebieten angedeutet, es spielt aber aucheine entscheidende Rolle für die Theorie der Kardinalzahlen (Teil IV). Das Kontinuumsproblemist der Ausgangspunkt für die Entwicklung der Deskriptiven Mengenlehre,hier können nur die einfachsten Ergebnisse aufgeführt werden. Auch dieanschließenden Teile geben nur einen knappen und unvollkommenen Einblick inweitere mengentheoretische Themen:• Axiomatisierungen der Mengenlehre mittels Reflexionsprinzipien, die sichbesonders flexible zu Abschwächungen oder auch Verstärkung der ZF-Mengenlehreeinsetzen lassen und auch besonders gut geeignet sind, Modelleder Mengenlehre zu charakterisieren, welche mittels einer kumulativenHierarchie aufgebaut sind,• Präzisierung des Begriffes der definierbaren Menge und damit eine Charakterisierunginnerer Modelle; die Hierarchie der konstruktiblen Mengen alsModell der Mengenlehre, in welcher das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypotheseerfüllt sind,• einige grundlegende Ergebnisse aus der Theorie der großen Kardinalzahlen.Heidelberg, im Juli 2004
INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeichnisI Mengen und Unmengen 11 Ordnungen und Wohlordnungen 41.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Charakterisierung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Mengen und Klassen 122.1 Die Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen . . . . . . . . 152.4 Variable für Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . . . . . . . . . . 183 Extensionalität und Aussonderung 203.1 Gleichheit von Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Eigenschaften der Inklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Die Booleschen Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Relationen und Funktionen 244.1 Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Axiome von ZF 295.1 Vereinigung, Durchschnitt und Ersetzung . . . . . . . . . . . . . 295.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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- Seite 13 und 14: 1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
- Seite 15 und 16: 1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
- Seite 17 und 18: 1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
- Seite 19 und 20: 12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
- Seite 21 und 22: 2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
- Seite 23 und 24: 2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
- Seite 25 und 26: 2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
- Seite 27 und 28: 20Kapitel 3Extensionalität und Aus
- Seite 29 und 30: 3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
- Seite 31 und 32: 24Kapitel 4Relationen und Funktione
- Seite 33 und 34: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
- Seite 35 und 36: 4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
- Seite 37 und 38: 5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
- Seite 39 und 40: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
- Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
- Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
- Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeichnisI Mengen und Unmengen 11 Ordnungen und Wohlordnungen 41.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Charakterisierung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Mengen und Klassen 122.1 Die Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen . . . . . . . . 152.4 Variable für Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . . . . . . . . . . 183 Extensionalität und Aussonderung 203.1 Gleichheit von Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Eigenschaften der Inklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Die Booleschen Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Relationen und Funktionen 244.1 Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Axiome von ZF 295.1 Vereinigung, Durchschnitt und Ersetzung . . . . . . . . . . . . . 295.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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