Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 223.2 Eigenschaften der Inklusion(i) A ⊆ AA ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ CA ⊆ B ∧ B ⊆ A → A = B(reflexiv)(transitiv)(antisymmetrisch)(ii) /0 ⊆ A ⊆ V(iii) A ⊂ B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊈ A ↔ A ⊆ B ∧ ∃x(x ∈ B ∧ x ∉ A) □.Somit ist die Inklusion ⊆ eine reflexive teilweise Ordnung mit /0 als kleinstem,V als größtem “Element”.3.3 Die Booleschen Operationenkönnen wir allein mit Hilfe der Klassenschreibweise einführen:A ∩ B : = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} DurchschnittA ∪ B : = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} VereinigungA − B : = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} relatives Komplement−B : = {x | x ∉ B} KomplementDamit erhalten wir nun die Gesetze einer BOOLEschen Algebra (eigentlich Gesetzeüber die aussagenlogischen Operationen ¬,∧,∨):A ∩ B = B ∩ AA ∪ B = B ∪ AA ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩CA ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪CA ∩ A = AA ∪ A = AA ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)A ∩ (B ∪ A) = AA ∪ (B ∩ A) = AA ∪ −A = V, A ∩ −A = /0− − A = A− /0 = V, −V = /0−(A ∩ B) = −A ∪ −B−(A ∪ B) = −A ∩ −BKommutativgesetzeAssoziativgesetzeIdempotenzgesetzeDistributivgesetzeAbsorptionsgesetzeKomplementgesetzede MORGANsche Gesetze